Статика при наличии трения-1

Продолжаем решать задачи на статику. Теперь будут блоки и палочки, и будет присутствовать трение.

Задача 1.

В системе, изображённой на рисунке, все блоки невесомые, нити лёгкие и нерастяжимые, трения в осях блоков нет.

Участки нитей, не лежащие на блоках, горизонтальны. Массы брусков, указанные на рисунке, известны. Модуль максимальной силы трения между бруском $M$ и площадкой, на которой он лежит, равен $F$ .

Чему может быть равна масса $m_x$ левого бруска для того, чтобы система находилась в равновесии?

Решение. Запишем условия равновесия и отсутствия проскальзывания:

$$N=Mg$$

$$T_0=m_0g$$

$$T_x=m_xg$$

$$\mid F_{tr}\mid <\mu N$$
$$2T_0-2T_x- F_{tr}=0$$

Получаем, что

$$-\mu N <F_{tr}<\mu N$$

$$-\mu N <2T_0-2T_x <\mu N$$

$$-\mu Mg <2m_0g-2m_xg <\mu Mg$$

$$-\frac{\mu M}{2} <m_0-m_x <\frac{\mu M}{2}$$

$$-\frac{\mu M}{2}- m_0< -m_x <\frac{\mu M}{2}-m_0$$

$$ m_0+\frac{\mu M}{2}> m_x > m_0-\frac{\mu M}{2} $$

Так как максимальная сила трения равна

$$F=\mu m g$$

То

$$ m_0-\frac{F}{2g}< m_x < m_0+\frac{F}{2g} $$

Если окажется, что $m_0 \ll \frac{F}{2g}$, то $m_x < m_0+\frac{F}{2g} $.

Ответ: $ m_0-\frac{F}{2g}< m_x < m_0+\frac{F}{2g} $

 

Задача 2.

Неоднородный груз массой $4m$ подвешен при помощи системы блоков так, как показано на рисунке.

Нити и блоки очень лёгкие, свободные участки нитей вертикальны, трения в осях блоков нет. К свободному концу нити, перекинутой через блоки, прикреплён противовес массой $m$. Участок этой же нити, находящийся между грузом и правым блоком, проходит через небольшое отверстие в неподвижной перегородке. При скольжении нити в отверстии возникает сила трения $F=10$H, действующая на нить со стороны стенок перегородки.

а) При каких значениях массы $m$ противовеса система может оставаться в равновесии?

б) Где должен находиться центр масс неоднородного груза для того, чтобы равновесие было возможным?

в) Чему равен модуль силы трения $F_1$ , и в какую сторону она направлена при $m = 0, 7$ кг ?

Решение.

На систему тел, обведенную фиолетовым, действует общая сила $3T$. А

$$T=mg$$

Также на эту систему тел действует сила тяжести $4mg$. То есть без трения в перегородке равновесие невозможно.

Условия равновесия:

$$2T+T_1=4mg$$

$$T_1-T<F$$

Следовательно,

$$2T+T_1<3T+F=3mg+F$$

$$4mg<3mg+F$$

$$m<\frac{F}{g}=1$$

Итак, масса $m<1$ кг.

Определим $T_1$.

$$2T+T_1=4mg$$

$$T_1=4mg-2T=4mg-2mg=2mg$$

Так как обе силы равны ($T=T_1$), то центр масс неоднородного груза должен находиться по центру.

Сила трения в перегородке направлена вверх. Для нее

$$F_1=T_1-T=mg=7$$

Ответ: масса $m<1$ кг; центр масс неоднородного груза должен находиться по центру; $F_1=7$ Н.

Задача 3.

На горизонтальном полу стоит табуретка массой $M = 4,5$ кг.

Высота табуретки $h = 45$ см , а расстояние между её ножками $d = 30$ см. Коэффициент трения между ножками и полом $\mu = 0,4$. Экспериментатор Глюк привязал к середине стороны сиденья табуретки невесомую нерастяжимую нить, перекинутую через блок. На втором конце нити висит ведёрко с водой. Масса ведерка вместе с водой  $m=0,6$ кг. Экспериментатор Глюк опустил в ведерко тонкую трубку с внутренним диаметром $D=4$ мм, по которой в ведерко стала доливаться вода с постоянной скоростью  $\upsilon=0,2$ м/с. Плотность воды $\rho=1000$ кг/м$^3$, ускорение свободного падения можно считать равным $g=10$ м/с$^2$. Через какое время после этого табуретка придет в движение? Как начнет двигаться табуретка: скользить, двигаясь поступательно, или опрокидываться, поворачиваясь вокруг некоторой оси?

Решение.

Наклоним немного табурет и расставим силы:

Уравнение моментов относительно точки приложения силы реакции опоры

$$Fh=Mg\cdot \frac{d}{2}$$

$$F=\frac{Mgd}{2h}$$

Но по условию

$$F=(m+m_{vody})g$$

Если эта сила больше, чем $\frac{Mgd}{2h}$, то начнется опрокидывание. То есть

$$(m+m_{vody})g\geqslant \frac{Mgd}{2h}$$

$$m+m_{vody}\geqslant \frac{Md}{2h}$$

$$m_{vody}\geqslant \frac{Md}{2h }-m=\frac{4,5\cdot 0,3}{2\cdot 0,45}-0,6=0,9$$

Теперь рассмотрим вариант со скольжением табуретки. Для этого сила $F$ должна быть больше силы трения скольжения:

$$F\geqslant \mu N=\mu Mg$$

$$(m+m_{vody})g \geqslant \mu Mg$$

$$m+m_{vody} \geqslant \mu M$$

$$m_{vody} \geqslant \mu M-m=0,4\cdot 4,5-0,6=1,2$$

Как видно, чтобы табуретка начала проскальзывать, в ведерко нужно долить большее количество воды. Значит, она опрокинется.

Теперь определим время, за которое в ведерко нальется 0,9 кг воды.

За время $t$ из трубки выльется «цилиндр» воды объемом

$$\frac{V}{t}=\frac{Sh}{t}=\frac{\pi D^2}{4t}h=\frac{\pi D^2}{4}\upsilon$$

$$ m_{vody}=\rho V=\rho \frac{\pi D^2}{4}\upsilon t$$

$$t=\frac{m_{vody}}{\rho\frac{\pi D^2}{4}\upsilon}=\frac{0,9}{10^3\cdot\frac{\pi 0,004^2}{4}\cdot 0,2}=358$$

Ответ: табуретка опрокинется через 358 с.

Задача 4.

Две тонкие палочки одинаковой длины с массами $m$ и $2m$ образуют букву «Т» (палочка массой $2m$ прикреплена к середине палочки массой $m$ под прямым углом к ней).

Палочки лежат на шероховатой горизонтальной поверхности. К одному из концов палочки $m$ привязана нить, за которую систему палочек медленно тянут по поверхности. Какой угол $\alpha$ составляет палочка $m$ с нитью?

Решение. Когда конструкцию тянут, на обе палочки действуют силы трения.

$$F_{tr1}=\mu mg$$

$$ F_{tr2}=2\mu mg$$

Составим уравнение моментов:

$$2\mu mg x=\mu mg y$$

$$2x=y$$

Так как на рисунке

$$DB=y$$

$$CA=x+y=3x=1,5y$$

А

$$CB=\frac{l}{2}$$

То из подобия

$$\frac{CF}{FB}=\frac{1}{2}$$

$$CF=\frac{l}{6}$$

$$FB=\frac{2l}{6}$$

Тогда

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{FB}{BO}=\frac{\frac{l}{3}}{\frac{l}{2}}=\frac{2}{3}$$

Ответ: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}$.