Статика. Правило моментов - 3

В задачах, связанных с равновесием тел, нужно, как правило, найти две силы (или больше) которые стремятся это тело повернуть по и против часовой стрелки. Если моменты этих сил равны, тело будет находиться в равновесии. А чтобы рассчитать момент, нужно также правильно определить плечо силы: это расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Задача 1.

К концам стержня массой 10 кг и длиной 40 см подвешены грузы массами 40 кг и 10 кг. Где надо подпереть стержень, чтобы он находился в равновесии?

Нарисуем чертеж. Хороший рисунок – половина дела. По рисунку составим уравнение моментов  относительно точки опоры:

К задаче 1

$$Mgx=(\frac{L}{2}-x)mg+(L-x)mg$$

$$Mx=(\frac{L}{2}+L-2x)m$$

$$Mx+2mx=1,5Lm$$

$$x(M+2m)= 1,5Lm$$

$$x=\frac{1,5Lm }{ M+2m }=\frac{1,5\cdot 0,4 \cdot 10 }{ 60 }=0,1$$

Ответ: $x=0,1$ м

Задача 2.

Труба массой 2,1 т имеет длину $L=16$ м. Она лежит на двух подкладках, расположенных на расстояниях $l_1=4$ м и $l_2=2$ м от ее концов. Какую минимальную силу надо приложить поочередно к каждому из ее концов, чтобы приподнять трубу за тот или другой конец?

К задаче 2

Составим систему, глядя на рисунок:

$$\begin{Bmatrix}{ F_1(L-l_1)=Mg(\frac {L }{2} –l_1)}\\{ F_2(L-l_2)=Mg(\frac {L }{2} –l_2)}\end{matrix}$$

Из первого уравнения получим $F_1$:

$$F_1=\frac{ Mg(\frac {L }{2} –l_1)}{ L-l_1}=\frac{2100 \cdot10 (8-2)}{16-2}=9000$$

Из второго уравнения получим $F_2$:

$$F_2=\frac{ Mg(\frac {L }{2} –l_2)}{ L-l_2}=\frac{2100 \cdot10 (8-4)}{16-4}=7000$$

Ответ: $F_1=9$ кН, $F_2=7$ кН.

Задача 3.

Консоль с одинаковым по всей длине поперечным сечением весит 1000 Н.  Один ее конец прикреплен к стене, а другой поддерживается тросом. Трос образует угол 30° с консолью,  расположенной горизонтально. Чему равна сила натяжения троса, если к концу консоли подвешен груз весом 2000 Н? Каков модуль силы, действующей на консоль в месте прикрепления к стене?

К задаче 3

Запишем уравнения по чертежу.

$$\frac{a}{2}mg+aMg-aT\sin{\alpha}=0$$

$$N=T\cos{\alpha}$$

Из первого уравнения

$$T=\frac{a\left(Mg+\frac {mg }{2}\right) }{ a\sin{\alpha}}$$
$$T=\frac{\left(Mg+\frac {mg }{2}\right) }{ \sin{\alpha}}=\frac{\left(2000+500}\right) }{ \frac{1}{2}}=5000$$

Сила давления консоли на стену:

$$N= T\cos{\alpha}=5000\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4325$$

Ответ: $T=5$ кН, $N=4325$ Н.

Задача 4.

Расстояние между осями передних и задних колес автомобиля равно $L=2,3$ м. При взвешивании автомобиля на весовой платформе выяснилось, что передние колеса поддерживают $N_1=9$ кН, а задние $N_2=6,5$ кН. На каком расстоянии от передней оси находится центр тяжести?

К задаче 4

Обозначим расстояние от центра тяжести до передней оси за $x$. Теперь составим два уравнения относительно передней и задней осей автомобиля:

$$\begin{Bmatrix}{ LN_1=Mg(L-x)}\\{ LN_2=Mgx }\end{matrix}$$

Из второго уравнения системы

$$L=\frac{ Mgx }{ N_2}$$

Подставим в первое:

$$ \frac{ Mgx N_1}{ N_2} =MgL-Mgx$$

Или

$$ \frac{x N_1}{ N_2} =L-x$$

$$ \left(\frac{N_1}{ N_2} +1\right)x=L$$

$$x \frac{ N_1+ N_2}{ N_2}=L$$

$$x=\frac{L N_2}{ N_1+ N_2}=\frac{2,3 \cdot 6500}{9000+6500}=0,96$$

Ответ: центр тяжести на расстоянии 0,96 м от передней оси.