Статика. Правило моментов -2

В задачах, связанных с равновесием тел, нужно, как правило, найти две силы (или больше) которые стремятся это тело повернуть по и против часовой стрелки. Если моменты этих сил равны, тело будет находиться в равновесии. А чтобы рассчитать момент, нужно также правильно определить плечо силы: это расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Задача 1.

Однородная доска массой 10 кг подперта на расстоянии $\frac{1}{4}$ ее длины. Какую силу, перпендикулярную доске, надо приложить к ее короткому концу, чтобы удержать доску в равновесии?

К задаче 1

Эта задача легко решается, если применить понятие центра масс. То есть будем считать всю массу доски сосредоточенной в одной точке – центре масс. Центр масс – такая точка, что если в ней установить опору, то предмет (в данном случае, доска) будет находиться в равновесии, потому что суммарный момент всех элементарных масс предмета относительно этой точки равен нулю. У однородных предметов (доска, балка, рельс, бревно, труба) центр масс находится посередине. Действительно, если подпереть ровную, одинаковую по толщине доску посередине – она будет находиться в равновесии. Это знают даже самые маленькие: ведь они любят кататься на качелях. Вернемся к задаче. Итак, раз доска однородна (ее толщина и ширина одинаковы по всей длине $L$), то ее центр масс находится в центре, а мы по условию подперли доску на расстоянии $\frac{1}{4}$ длины. Следовательно, если считать всю массу доски сосредоточенной в центре масс, то по правилу моментов

$$\frac{L}{4}\cdot Mg=F\cdot \left(\frac{L}{2}-\frac{L}{4}\right)$$
$$F=Mg=100$$

Ответ: доску придется удерживать с силой 100 Н, равной ее весу.

Задача 2.

Бревно длиной $L=12$ м можно уравновесить в горизонтальном положении на подставке,  отстоящей на $d_1=3$ м от его толстого конца. Если же подставка находится в $d_2=6$ м от толстого конца и на тонкий конец сядет рабочий массой 60 кг,  бревно снова будет в равновесии. Определите массу бревна.

К задаче 2

Снова прибегнем к помощи центра масс. Если в первом случае бревно находилось в равновесии, то центр масс находится в трех метрах от толстого конца бревна. Будем считать весь вес бревна сосредоточенным в центре масс, тогда для второй ситуации запишем правило моментов:

$$Mg\cdot \left(\frac{L}{2}-d_1 \right)=mg \cdot d_2$$

$$M=\frac{ m \cdot d_2}{\frac{L}{2}-d_1}=\frac{ 60 \cdot 6}{6-3}=120$$

Ответ: $M=120$ кг

Задача 3.

Рельс длиной 10 м и массой 900 кг поднимают на двух параллельных тросах. Найдите силу натяжения тросов, если один из них укреплен на конце рельса, а другой - на расстоянии 1 м от другого конца.

К задаче 3

Составим два уравнения: сначала относительно точки крепления одного троса, затем – другого. Тогда для точки $A$:

$$mg\cdot (\frac{l}{2}-1)-T_2\cdot (l-1)=0$$

Относительно точки $B$:

$$mg\cdot \frac{l}{2}-T_1\cdot (l-1)=0$$

Из первого уравнения получим силу натяжения правого троса:

$$T_2=\frac{mg(l-2)}{2(l-1)}= \frac{9000(10-2)}{2(10-1)}=4000$$

Из второго уравнения
$$T_1=\frac{mgl}{2(l-1)}=\frac{90000}{2(10-1)}=5000$$

Ответ: $T_1=5$ кН, $T_2=4$ кН.

Задача 4.

К балке массой 200 кг и длиной 5 м подвешен груз массой 350 кг на расстоянии 3 м от одного из концов. Балка своими концами лежит на опорах. Каковы силы давления на каждую из опор?

Задача 4

Задача очень похожа на предыдущую. Снова запишем правило моментов относительно точек обеих опор.

Относительно точки $D$:

$$Mg \cdot \frac{L}{2}+mg \cdot (L-3)=N_2L$$

Относительно точки $C$:

$$Mg \cdot \frac{L}{2}+mg \cdot (L-2)=N_1L$$

Тогда:

$$ N_1=\frac{ Mg \cdot \frac{L}{2}+mg \cdot (L-2)}{L}=3100$$

$$N_2=\frac{ Mg \cdot \frac{L}{2}+mg \cdot (L-3)}{L}=2400$$

Ответ: $ N_1=3,1$ кН, $n_2=2,4$ кН.