Статика: подготовка к олимпиадам

В этой статье я собрала задачи для подготовки к олимпиадам разного уровня и для разных классов. Некоторые подойдут для 8, другие - для 9-го класса. Все они были предложены на различных олимпиадах.

Задача 1.

Имеются два скрепленных блока, радиусы которых отличаются в два раза (см. рис.). Радиус меньшего блока равен $r = 10$ см. К блокам с помощью ниток и крюков подвешивают тонкую однородную палку длины $L = 1$ м так, что вся конструкция оказывается в равновесии. Каково расстояние от левого крюка до правого конца палки?

Чтобы вся система была в равновесии, центр тяжести палки, а значит, и ее центр, должны быть строго под осью двойного блока. Обозначим расстояния от центра палки до места крепления нитей $d$ и $l$.

Тогда относительно точки приложения силы $F_1$

$$d\cdot mg=F_2(d+l)$$

А относительно точки приложения силы  $F_1$

$$l\cdot mg=F_1(d+l)$$

Разделим уравнения друг на друга:

$$\frac{d}{l}=\frac{F_2}{F_1}$$

Для того, чтобы сам блок находился в равновесии и не прокручивался, надо, чтобы выполнялось условие равенства моментов обеих сил натяжения нитей:

$$F_1\cdot 2r=F_2\cdot r$$

То есть

$$\frac{F_2}{F_1}=2$$

Тогда $d=2r, l=r$, искомое расстояние $x=0,5+d=0,5+0,2=0,7$ м.

Ответ: 0,7 м.

Задача 2.

Маша и Петя качаются на массивном бревне. Известно, что бревно уравновешено, если Маша сидит на одном, а Петя на другом конце бревна.  Если же подвинуть бревно, и Маша с Петей сядут на один конец вместе, то система тоже будет находиться в равновесии. Бревно имеет длину $l=3$ м, в первом случае длина левой части бревна $a=1$ м, во втором случае она составляет $c=50$ см. Определите, во сколько раз отличаются массы Маши и Пети.

В первом случае плечо силы тяжести Пети ($m_1$) – 1 м, плечо силы тяжести Маши ($m_2$) – 2 м. Плечо силы тяжести бревна – 0,5 м. Уравнение моментов тогда будет выглядеть так:

$$m_1g\cdot a=Mg\cdot(\frac{l}{2}-a)+m_2g\cdot(l-a)$$

Или, упрощая,

$$m_1\cdot 1=M\cdot(1,5-1)+m_2\cdot(3-1)$$

$$m_1=0,5M+2m_2$$

Или

$$M=2m_1-4m_2$$

Во втором случае наше уравнение моментов выглядит так:

$$Mg\cdot (\frac{l}{2}-c) =(m_1+m_2)g\cdot c$$

$$M =0,5(m_1+m_2)$$

Приравняем обе массы бревна, полученные из первого и второго условий.

$$2m_1-4m_2=0,5(m_1+m_2)$$

$$1,5m_1=4,5m_2$$

Тогда

$$\frac{m_1}{m_2}=\frac{4,5}{1,5}=3$$

Ответ: Петя тяжелее Маши втрое.

Задача 3.

Планка массой $m$ и два одинаковых груза массой $2m$ каждый с помощью лёгких нитей прикреплены к двум блокам. Система находятся в равновесии. Определите силы натяжения нитей и силы, с которыми подставка действует на грузы. Трения в осях блоков нет.

Сделаем рисунок:

Пусть нить над первым блоком натянута с силой $T_1$, а над блоком 2 – с силой $T_2$. Можно расписать силы, действующие на каждую из 4-х нитей, однако сейчас для решения этой задачи проще объединить планку с блоками в одно неделимое целое, и тогда рисунок изменится и упростится:

Теперь не нужно рассматривать натяжение каждой из нитей, достаточно сил $T_1$ и $T_2$. Тогда относительно точки $P$:

$$2mg\cdot l+mg\cdot 3l+2mg\cdot 7l-T_2\cdot 6l=0$$

А относительно точки $Q$

$$2mg\cdot 5l+mg\cdot 3l-2mg\cdot l-T_1\cdot 6l=0$$

Из этих уравнений находим

$$ T_2=\frac{19mgl}{6l}=\frac{19mg}{6}$$

$$T_1=\frac{11mg}{6}$$

Теперь можно перейти к силам натяжения отдельных нитей. Для первого блока они равны $\frac{T_1}{2}=\frac{11mg}{12}$, а для второго $\frac{T_1}{2}=\frac{19mg}{12}$.

Рассмотрим каждый груз отдельно.

Для левого

$$N_1+\frac{T_1}{2}=2mg$$

Откуда

$$N_1=2mg-\frac{T_1}{2}=\frac{13mg}{12}$$

Для правого

$$N_2+\frac{T_2}{2}=2mg$$

Откуда

$$N_2=2mg-\frac{T_2}{2}=\frac{5mg}{12}$$

Ответ: Для первого блока силы натяжения отдельных нитей  равны $\frac{T_1}{2}=\frac{11mg}{12}$, а для второго $\frac{T_1}{2}=\frac{19mg}{12}$.

Силы реакции опоры равны $N_1=\frac{13mg}{12}$, $N_2=\frac{5mg}{12}$.

Задача 4.

Доска массой $m$ и длиной $L$ лежит , выступая на $\frac{3}{7}$ своей длины, на  краю обрыва. Длина $\frac{L}{7}=1$ м. К свисающему краю доски с помощью невесомых блоков и нитей  прикреплен противовес, имеющий массу $4m$. На каком расстоянии от края обрыва на доске может стоять человек массой $3m$, чтобы доска оставалась горизонтальной?

Рассмотрим рисунок. Человек может смещаться по доске и вправо, и влево. Если он сдвигается вправо, в сторону обрыва, доска может начать клониться правым концом вниз, в обрыв. При этом точкой опоры доске будет служить край обрыва – точка $P$. Поэтому в этом случае уравнение моментов запишем относительно этой точки.

Так как масса груза справа известна, то он действует с силой $4T$ на правый нижний блок: $4mg=4T$ - так удобно обозначить, так как нити, удерживающие этот блок, тогда натянуты с силами $2T$, а нити, удерживающие малый нижний блок, тогда натянуты с силами $T$.

Плечо силы тяжести доски относительно $P$ - 0,5 м, плечо силы тяжести человека - $x_1$, плечо силы $T$ - 2 м, плечо силы $2T$ - 3 м. Тогда наше уравнение моментов таково:

$$mg\cdot0,5+2T\cdot3-3mg\cdot x_1-T\cdot2=0$$

Подставим вместо $T=mg$, тогда

$$mg\cdot0,5+2mg\cdot3=3mg\cdot x_1+mg\cdot2=0$$

Или $x_1=1,5$ м.

Теперь посмотрим, что будет, сместись человек влево. В этом случае доска может начать приподниматься (правым концом вверх), опираясь на левый конец (точка $Q$). Плечо силы тяжести доски относительно $Q$ - 3,5 м, плечо силы тяжести человека - $4-x_2$, плечо силы $T$ - 6 м, плечо силы $2T$ - 7 м. Тогда запишем уравнение моментов относительно этой точки опоры.

$$mg\cdot3,5-2T\cdot7+3mg\cdot(4-x_2)+T\cdot6=0$$

Подставим вместо $T=mg$, тогда

$$mg\cdot3,5 +3mg\cdot (4-x_2) +mg\cdot6=2mg\cdot7$$

Или $x_2=2,5$ м.

Ответ: человек может сместиться вправо на 1,5 м, или влево на 2,5 м.