Сложение сил и скоростей

Задача 1.

Два трактора вытягивают застрявшую машину с помощью двух канатов. Угол между канатами $\alpha=60^{\circ}$, а скорости канатов соответственно равны $\upsilon_1=30$ м/с, $\upsilon_2=24$ м/с. Определите модуль и направление скорости движения машины. Деформацией канатов пренебречь.

Решение. Скорость машины обозначим $\upsilon$. Тогда скорость всех точек одного каната $\upsilon_1$, а другого - $\upsilon_2$. Проекции скорости машины $\upsilon$ на канаты равны соответственно $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$. Пусть углы между скоростями $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ и скоростью машины $\upsilon$ будут соответственно равны $\gamma$ и $\beta$, $\gamma+\beta=60^{\circ}$ 

$$\upsilon\cos\gamma=\upsilon_1$$

$$\upsilon\cos\beta=\upsilon_2$$

Тогда

$$\frac{\upsilon_1}{\cos\gamma }=\frac{\upsilon_2}{\cos \beta }$$

$$\upsilon_1 \cos\beta=\upsilon_2 \cos(60^{\circ}-\beta)$$

$$\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}(\cos60^{\circ}\cos\beta+\sin 60^{\circ}\sin\beta)= \cos\beta$$

$$\frac{24}{30}(\frac{1}{2}\cos\beta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\beta)= \cos\beta$$

$$0,8(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{tg}\beta)= 1$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{tg}\beta=0,75$$

$$\operatorname{tg}\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\beta=40,1^{\circ}$$

Следовательно,

$$\upsilon=\frac{\upsilon_2}{\cos \beta}=\frac{24}{\cos 40,1^{\circ}}=31,75$$

Ответ: скорость автомобиля 31,74 м/с.

Задача 2.

Груз поднимают вертикально вверх с ускорением $a=1,2$ м/с$^2$ с помощью двух натянутых нитей. Угол между нитями равен $60^{\circ}$, силы натяжения нитей 10 Н и 6 Н. Найти массу груза.

Сумма (векторная) сил натяжения нитей обеспечивает ускорение.

$$ma=F-mg$$

$$m(a+g)=F$$

Найдем $F$, для этого понадобится теорема косинусов:

$$F^2=T_1^2+T_2^2-2T_1T_2\cos (180^{\circ}-\alpha)$$

$$F^2=100+36-2\cdot 10\cdot 6\cos 120^{\circ}$$

Тогда

$$F=\sqrt{136+60}=14$$

$$m=\frac{F}{a+g}=\frac{14}{10+1,2}=1,25$$

Ответ: масса груза 1,25 кг.