Прут согнули и подвесили

Это способ подвешивания для определения центра тяжести любого предмета: подвешиваете предмет за различные точки, и карандашиком проводите вертикальные линии от линии подвеса. Там, где они пересекутся – и есть центр тяжести.

Задача . Тяжелый однородный прут согнули в середине под углом $90^{\circ}$  и подвесили свободно за один из концов. Какой угол с вертикалью образует прикрепленный конец?

Эта задача кажется сложной, но на самом деле – нет. Представим, что мы подвешиваем такой прут сначала так:

Рисунок 1

А потом так:

Рисунок 2

Центр тяжести будет на пересечении обеих вертикалей. Это способ подвешивания для определения центра тяжести любого предмета: подвешиваете предмет за различные точки, и карандашиком проводите вертикальные линии от линии подвеса. Там, где они пересекутся – и есть центр тяжести.

Тогда положение центра тяжести нашего прута:

Рисунок 3

Также известно, что центр тяжести системы тел (а две половинки можно считать системой) находится всегда на линии, соединяющей центры масс частей. Центры масс половинок находятся в их центрах:

Рисунок 4

Теперь задача из физической превратилась в геометрическую. Имеем равнобедренный треугольник $ABC$. Его средняя линия - $MN$. Нам надо определить угол $\alpha$ в треугольнике $OBN$. Так как треугольник $ABC$ по условию прямоугольный и равнобедренный, то угол $\beta=45^{\circ}$. Обозначим длину половинки прута $BC=l$. Тогда $AB=l\sqrt{2}$, а $ON=\frac{l\sqrt{2}}{4}$.

Рисунок 5

Решим треугольник $OBN$, в котором нам известны тупой угол $\angle BNO=135^{\circ}$ и две стороны. По теореме косинусов найдем сторону $BO$:

$$BO^2=BN^2+ON^2-2\cdot BN \cdot ON\cos(180-\beta)$$

$$BO^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+\left(\frac{l\sqrt{2}}{4}\right)^2-2\cdot \frac{l}{2} \cdot \frac{l\sqrt{2}}{4}\cos 135^{\circ}$$

$$BO^2=\frac{l^2}{4}+\frac{l^2}{8}+\frac{l^2}{4} $$

$$BO^2=\frac{5l^2}{8}$$

$$BO=\frac{l\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$$

Теперь можно и теоремой синусов воспользоваться:

$$\frac{BO}{\sin135^{\circ}}=\frac{ON}{\sin{\alpha}}$$

$$\sin{\alpha}=\frac{ ON \cdot \sin135^{\circ}}{ BO }=\frac{\frac{l\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{l\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$$

Тогда сам угол равен

$$\alpha=\arcsin{\frac{1}{\sqrt{10}}}=18,4^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=18,4^{\circ}$
Решив эту задачу, я изготовила нечто подобное из картона и подвесила на ручку двери туалета изнутри - чтобы ее невозможно было закрыть снаружи. Моя кошка благодарна за это устройство физике.