Немного задач на статику - 2

Задачи пришли из хорошего лицея, как обычно, принес ученик.

Задача 5.

 К гвоздю, вбитому в стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стенки так, как показано на рисунке. Радиус оси катушки $r=0,5$ см, радиус её щёчек $R=10$ см. Коэффициент трения между стенкой и катушкой $\mu=0,1$ . При каком угле $\alpha$ между нитью и стенкой катушка висит неподвижно?

К задаче 5

Решение. Для силы трения можно записать $$F_{tr}=\mu N$$ По второму закону Ньютона $$N=T\sin \alpha$$

Расстановка сил

Уравнение моментов относительно центра катушки $$rT= F_{tr}R$$ Или $$r\cdot \frac{N}{\sin \alpha }=\mu NR$$ $$ \frac{r}{\sin \alpha }=\mu R$$ $$\sin \alpha=\frac{r}{\mu R}=\frac{0,5}{10\cdot 0,1}=0,5$$ Откуда $\alpha=30^{\circ}$. Ответ: 30 градусов.

Задача 6.

Каков должен быть минимальный коэффициент трения $\mu_{min}$ между кубом и горизонтальной плоскостью, чтобы однородный куб можно было опрокинуть через ребро горизонтальной силой, приложенной к верхней грани? Какая минимальная сила $F_{min}$ для этого потребуется? Масса куба $m$.

К задаче 6

Решение: Уравнение моментов относительно правого нижнего угла куба (точки опоры) $$F\cdot a=mg\cdot \frac{a}{2}$$ Откуда $$F=\frac{mg}{2}$$ $$\mu=\frac{F_{tr}}{N}=\frac{F}{N}=\frac{\frac{mg}{2}}{mg}=\frac{1}{2}$$ Ответ: при $\mu \geqslant 0,5$ куб можно опрокинуть.

Задача 7.

Две пластинки массой $M$ и длиной $l$ прикреплены шарнирно по одной из своих сторон к потолку. Шар радиуса $R = \frac{l}{6}$ вставлен между пластинками так, что расстояние от точек касания шара и пластинок до шарнира равно $\frac{l}{2}$. Коэффициент трения между шаром и пластинками $k$. Какой должна быть масса шара, чтобы он находился в равновесии? При каком максимальном коэффициенте между шаром и пластинками пластинки не смогут удержать шар при любой его массе?

К задаче 7

Решение. Введем угол $\alpha$ - половина угла между пластинами. Сила $N$ действует на шар, если нарисовать аналогичную силу для пластинки  -она будет направлена кнаружи и вверх. Тогда $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\frac{l}{6}}{\frac{l}{2}}=\frac{1}{3}$$ По второму закону Ньютона $$F_{tr}=Mg\cos \alpha$$

К задаче 7 - расстановка сил

А по правилу моментов $$N\cdot \frac{l}{2}=Mg\sin \alpha\cdot \frac{l}{2}$$ Таким образом, $$N=Mg\sin \alpha$$ И $$mg+2N\sin \alpha=2F_{tr}\cos \alpha$$ Максимальное значение силы трения равно $ F_{tr}=kN$ Откуда следует, что $$mg=2N(k\cos \alpha-\sin \alpha)$$ Это условие на минимальную массу шара. Так как тангенс угла $\alpha$ нам известен, то $\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}$, $\cos \alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}$. Тогда $$mg=2 Mg\sin \alpha (k\cos \alpha-\sin \alpha)$$ $$m=2 M\sin \alpha (k\cos \alpha-\sin \alpha)= 2 M\frac{1}{\sqrt{10}} (k\frac{3}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}})=M\cdot \frac{3k-1}{5}$$ $$m\leqslant M\cdot \frac{3k-1}{5}$$ Заметим, что правая часть может стать нулем и принимать меньшие ноля значения при $k<\frac{1}{3}$. Ответ: $m\leqslant M\cdot \frac{3k-1}{5}$, не выполняется при $k<\frac{1}{3}$.

Задача 8.

На рисунке изображена упрощённая модель лестницы-стремянки, состоящей из соединённых шарнирно легкой опоры и массивной части, наклоненных под углами $\beta = 20^{\circ}$ и $\gamma$ к вертикали ($\operatorname{tg} \gamma=2\operatorname{tg}\beta$). Масса лестницы $m = 20$ кг. Определите, с какой силой взаимодействуют между собой части лестницы. Трения в шарнире нет. Коэффициент трения между полом и касающимися его частями стремянки одинаков. При каком минимальном значении коэффициента трения $\mu$ части лестницы не будут разъезжаться?

К задаче 8

Решение. Запишем уравнение моментов относительно точки А (если расстояние $BC=L$, то расстояние $AC=2L$ - это следует из данных тангенсов). $$N_1\cdot 3L=mg\cdot L$$ Следовательно, $$N_1=\frac{mg}{3}$$ А $$N_2=\frac{2mg}{3}$$

К задаче 8 - расстановка сил

Уравнение моментов относительно точки $B$: $$mg\cdot 2L-N_2\cdot 3L+FL=0$$ $F$ - сила в верхнем шарнире. $$mg\cdot 2-N_2\cdot 3+F=0$$ Но тогда получается $F=0$, что неверно. Следовательно, сила $F$ направлена вдоль опоры и является внутренней. Тогда $$F\cos \beta=N_1$$ $$F=\frac{ N_1}{\cos \beta }=\frac{mg}{3\cos 20^{\circ}}=71$$ $$F_{tr1}=F_{tr2}=\mu N_1$$ $$F\sin \beta=F_{tr}$$ $$F\sin \beta=\mu F \cos \beta$$ $$\mu=\operatorname {tg}\beta=0,36$$ Ответ: сила в шарнире 71 Н, минимальный коэффициент трения 0,36.