Немного задач на статику - 1

Задачи пришли из хорошего лицея, как обычно, принес ученик.

Задача 1.

  Гладкий невесомый стержень $AC$ длиной 1 м вставлен под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту в вертикальную стену (см. рисунок). К концу С стержня подвешен груз весом $P= 100$ Н. Определите силы реакции боковых стенок отверстия в точках А и В. С какой силой стержень сжат? Расстояние АВ равно 0.2 м.

К задаче 1

Решение: составим уравнение моментов относительно точки $B$: $$N_A\cdot AB=mg\cdot (l-AB)\cos \alpha$$ $$N_A=\frac{ mg\cdot (l-AB)\cos \alpha }{ AB }=\frac{ 100\cdot 0,8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} }{0,2}=200\sqrt{3}=346$$

К задаче 1 - расстановка сил

Теперь составим уравнение моментов, но относительно точки $A$: $$N_B\cdot AB=mg\cdot l\cos \alpha$$ $$N_B=\frac{ mg\cdot l\cos \alpha }{AB}=\frac{ 100\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} }{0,2}=250\sqrt{3}=433$$ Стержень сжат с силой, равной $$F=mg\sin \alpha=100\cdot 0,5=50$$ Ответ: $N_A=346$ Н, $N_B=433$ Н, $F=50$ Н.

Задача 2.

Однородный шар массы $m$ и радиуса $R$ подвешен на нити длиной $l$ к гладкой вертикальной стене. Определите силу Т натяжения нити и силу Р давления шара на стену.

К задаче 2

Решение: Линия действия силы $T$ обязательно проходит через центр шара. Поэтому по второму закону Ньютона можно записать уравнения: $$T\cos \alpha=mg$$ $$T\sin \alpha =F$$ Или $$\operatorname{tg} \alpha=\frac{F}{mg}$$ Или $$F=mg \operatorname{tg} \alpha$$ С другой стороны, $$\sin \alpha=\frac{R}{R+L}$$ Где $R$ - радиус шара, $L$ - длина нити. Тогда $$\cos \alpha=\sqrt{1-\frac{R^2}{(R+L)^2}}=\frac{\sqrt{2RL+L^2}}{R+L}$$ Следовательно, $$\operatorname{tg} \alpha=\frac{R}{\sqrt{2RL+L^2}}$$ И тогда $$F=\frac{mgR}{\sqrt{2RL+L^2}}$$ А $$T=\frac{F}{\sin \alpha}=\frac{mg(R+L)}{ \sqrt{2RL+L^2}}$$ Ответ: $F=\frac{mgR}{\sqrt{2RL+L^2}}$, $T=\frac{mg(R+L)}{ \sqrt{2RL+L^2}}$.  

Задача 3.

Лестница опирается на вертикальную стену и горизонтальный пол. Коэффициент трения между лестницей и стеной $\mu_1=0,5$, а между полом и лестницей $\mu_2=0,4$. Определите наименьший угол наклона лестницы, при котором она еще может оставаться в равновесии.

К задаче 3 с лестницей

Решение: Составим уравнения по второму закону Ньютона: $$N_2=F_{tr1}=\mu_1 N_1$$ $$N_1+F_{tr2}=mg$$ И уравнение моментов относительно верхней точки  опоры: $$mg\cos \alpha \cdot \frac{L}{2}+ F_{tr1}\sin \alpha L=N_1 L\cos \alpha$$ Умножаем на 2 и делим на $L$ - длину лестницы: $$mg\cos \alpha+ 2F_{tr1}\sin \alpha=2N_1 \cos \alpha$$ Разделим еще дополнительно на $\cos \alpha$: $$mg+ 2F_{tr1}\operatorname{tg} \alpha=2N_1$$ Заменим $mg= N_1+F_{tr2}$: $$ N_1+F_{tr2}+ 2F_{tr1}\operatorname{tg} \alpha=2N_1$$ Получаем после упрощения $$F_{tr2}+ 2F_{tr1}\operatorname{tg} \alpha=N_1$$ Заменим $F_{tr2}=\mu_2 N_2$, $F_{tr1}=\mu_1 N_1$: $$\mu_2 N_2+2\mu_1 N_1\operatorname{tg} \alpha=N_1$$ Но $N_2=F_{tr1}=\mu_1 N_1$, тогда $$\mu_2 \mu_1 N_1+2\mu_1 N_1\operatorname{tg} \alpha=N_1$$ И сократим на $N_1$: $$\mu_2 \mu_1 +2\mu_1 \operatorname{tg} \alpha=1$$ $$\operatorname{tg} \alpha=\frac{1-\mu_2 \mu_1}{2\mu_1}$$ При большем угле лестница начнет соскальзывать. Поэтому ответ: $\alpha\leqslant \operatorname{arctg} \frac{1-\mu_2 \mu_1}{2\mu_1}$.  

Задача 4.

Невесомые стержни АВ в ВС соединены шарнирно между собой и вертикальной стеной (см. рисунок); угол между стержнями равен $\alpha$. К середине стержня АВ подвешен груз массой $m$. Определите силы $F_A$ и $F_B$ давления стержня АВ на шарниры А и В.

К задаче 4

Решение. Линия действия силы $mg$ - средняя линия треугольника $ABC$, то есть она пересекает отрезок $BC$ в его середине. Так как силы, действующие на $BC$, сонаправлены с ней, то по теореме о трех непараллельных силах сила, действующая на шарнир в точке А также проходит через середину $BC$, а значит, она симметрична и равна силе, действующей на шарнир в точке $B$. Кстати, стержень $AB$ изгибается силой $mg$, и поэтому силы сжатия не направлены вдоль него. Таким образом, $$mg=F_A \sin \alpha \cdot 2$$ $$F_A=\frac{mg}{2\sin \alpha }=F_B$$ Ответ: $F_A=\frac{mg}{2\sin \alpha }=F_B$.