Лестницы

Задача 1.

К стене приставлена лестница массой $m=60$ кг. Центр тяжести лестницы находится на расстоянии $\frac{1}{3}$ длины от её верхнего конца. Какую горизонтальную силу нужно приложить к середине лестницы, чтобы её верхний конец не оказывал давления на стенку? Угол между лестницей и стеной равен $\alpha=45^{\circ}$. (Задача 3.1.21 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»)

Решение. Сделаем рисунок, обозначим силы.

Рисунок к задаче 1   

Из рисунка становится видно, что

$$F=F_{tr}$$

$$ F_{tr}=\mu N=\mu mg$$

Дополним это уравнением моментов, составленным относительно нижней точки опоры:

$$F\cdot \frac{l}{2}\cdot \sin 45^{\circ}-mg\cdot \frac{2l}{3}\cdot \cos 45^{\circ}=0$$

$$F\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=mg\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$F= \frac{4}{3}mg=\frac{4}{3}\cdot 600=800$$

Ответ: 800 Н.

Задача 2.

Лестница массой 15 кг и длиной 3 м стоит, упираясь верхним концом в гладкую стену, а нижним – в пол под углом $\alpha=60^{\circ}$ к горизонту. На лестнице на расстоянии 1 м от её верхнего конца стоит человек массой 60 кг. Под каким углом к горизонту направлена сила, с которой пол действует на нижний конец лестницы? (Задача 3.1.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»)

Решение. Сделаем рисунок, обозначим силы.

Рисунок к задаче 2

Из рисунка становится видно, что

$$N_1=mg+Mg$$

$$N_2=F_{tr}$$

Дополним это уравнением моментов, составленным относительно нижней точки опоры:

$$mg\cdot \frac{l}{2}\cdot \cos \alpha+Mg\cdot \frac{2l}{3}\cdot \cos \alpha-N_2\cdot l \cdot \sin\alpha=0$$

«Добудем» $N_2$:

$$mg\cdot \frac{1}{2}\cdot \cos \alpha+Mg\cdot \frac{2}{3}\cdot \cos \alpha=N_2\cdot \sin\alpha$$

$$mg\cdot \frac{1}{2}\cdot \operatorname{ctg} \alpha+Mg\cdot \frac{2}{3}\cdot \operatorname{ctg}\alpha=N_2$$

$$N_2=475\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=274$$

Откуда

$$F_{tr}=274$$

$$N_1=750$$

Следовательно,

$$\operatorname{tg} \beta=\frac{N_1}{F_{tr}}=\frac{750}{274}=2,74$$

Значит, $\beta=70^{\circ}$.

Ответ: $70^{\circ}$.

 

Задача 3.

Под каким наименьшим углом $\alpha$ к горизонту может стоять лестница, прислоненная к гладкой вертикальной стене, если коэффициент трения лестницы о пол равен $\mu$? Считать, что центр тяжести находится в середине лестницы. (Задача 3.1.32 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»)

Решение.

Рисунок к задаче 3

Запишем систему уравнений, которая поможет решить задачу:

$$N=mg$$

$$F_{tr}=\mu N=\mu mg=N_1$$

И уравнение моментов относительно нижней точки опоры:

$$mg\cdot \frac{l}{2}\cdot \cos \alpha-N_1\cdot l \cdot \sin\alpha=0$$

Откуда

$$mg\frac{1}{2}\cdot \cos \alpha=N_1\cdot \sin\alpha$$

$$mg\frac{1}{2}\cdot \cos \alpha=\mu mg \cdot \sin\alpha$$

$$\frac{1}{2}\cdot \cos \alpha=\mu \cdot \sin\alpha$$

Или

$$\operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{2\mu}$$

Ответ: $\operatorname{arctg} \left(\frac{1}{2\mu})\right$.

 

Задача 4.

Стержень длиной $l$ и массой $m$ одним концом упирается в вертикальную стенку, а другой его конец удерживается нитью, длина которой равна длине стержня. При каком угле $\alpha$ стержень будет находиться в равновесии, если коэффициент трения между стержнем и стеной равен $\mu=0,3$? (Задача 3.1.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»)

Рисунок к задаче 4

Решение. В силу равнобедренности треугольника, образованного нитью, стеной и стержнем, углы, показанные на рисунке, равны ($\alpha$). Тогда можно записать систему уравнений:

$$T\cos \alpha+F_{tr}=mg$$

$$T\sin \alpha=N_1$$

Дополним уравнением моментов, составленным относительно точки опоры стержня о стену:

$$mg\cdot \frac{l}{2}\cdot \sin \alpha-Tl\sin(180^{\circ}-2\alpha)=0$$

$$  \frac{mg }{2}\cdot \sin \alpha=T\sin(2\alpha)$$

$$  \frac{mg }{2}=2T\cos\alpha$$

Откуда

$$T=\frac{mg }{4\cos\alpha }$$

А $N_1$ тогда

$$N_1= T\sin \alpha=\frac{mg }{4\cos\alpha } \sin \alpha=\frac{mg }{4}\operatorname{tg}\alpha$$

Подставим в самое первое уравнение:

$$\frac{mg}{4}+\mu\frac{mg }{4}\operatorname{tg}\alpha=mg$$

$$\frac{1}{4}+\mu\frac{1 }{4}\operatorname{tg}\alpha=1$$

$$\mu\frac{1 }{4}\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$$

$$\mu\operatorname{tg}\alpha=3$$

$$ \operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{\mu }=\frac{3}{0,3}=10$$

$$\alpha=\operatorname{arctg} 10=84,3^{\circ}$$

Ответ: $84,3^{\circ}$