Готовимся к олимпиадам: центр масс системы, 8 класс.

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня знакомимся с понятием "центр масс системы" и учимся находить его координату.

Задача 1.

Стержень сварен из двух одинаковых по сечению стержней, изготовленных из материалов с плотностями $\rho$ и $4\rho$. При каком отношении длин стержней $\frac{L_1}{L_2}$ центр масс системы будет находиться в плоскости сварки? $L_1$ − длина стержня с плотностью $\rho$ . Ответ округлить до целых.

Рисунок 1

Масса менее плотного стержня:

$$m_1=\rho_1 L_1 S$$

Масса более плотного:

$$m_2=\rho_2 L_2 S$$

По рисунку запишем условие равновесия относительно точки сварки:

$$m_1g\cdot\frac{L_1}{2}=m_2g\cdot\frac{L_2}{2}$$

Сократим и запишем массы через плотности и объемы:

$$\rho_1 L_1 S\cdot L_1=\rho_2 L_2 S\cdot L_2$$

Или

$$\frac{L_1^2}{L_2^2}=\frac{\rho_2}{\rho_1}=4$$

Откуда

$$\frac{L_1}{L_2}=2$$

По мне – это не сложное решение. Но можно решать через формулу для координаты центра масс, это будет сложнее:

$$x=\frac{1}{M}\sum^{n}_{k=1} {m_k x_k}$$

Здесь $M$ - масса всей системы, $m_k$ - массы составляющих системы, $x_k$ - их координаты. Для нашего стержня

$$x=L_1=\frac{m_1 x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}=\frac{L_1\rho_1 S\cdot \frac{L_1}{2}+L_2\rho_2 S\cdot(L_1+\frac{L_2}{2})}{ L_1\rho_1 S + L_2\rho_2 S }$$

$$\frac{L_1^2}{2}+4L_1L_2+\frac{4L_2^2}{2}=L_1(L_1+4L_2)$$

Разделив на $L_2^2$, получим:

$$\frac{L_1^2}{2L_2^2}+4\frac{ L_1 }{L_2} +2=\frac{L_1^2}{L_2^2}+4\frac{ L_1 }{L_2}$$

$$\frac{L_1^2}{2L_2^2}=2$$

Откуда

$$\frac{L_1}{L_2}=2$$

Ответ: 2.

Задача 2.

Балка удерживается в наклонном положении веревкой. Будет ли суммарная сила реакции, действующая на нижний конец балки, направлена вдоль нее?

Рисунок 2

Так как балка неподвижна, значит, силы, действующие на нее, находятся в равновесии – то есть их сумма равна нулю. Следовательно, сила реакции уравновешивает направленную вертикально вниз силу тяжести и силу натяжения веревки. Глядя на рисунок, можно видеть, что при этом она не  может быть направлена вдоль балки.

Задача 3.

Определите, на каком расстоянии от стороны БВ находится центр тяжести П-образной конструкции, состоящей из трех одинаковых кусков однородной проволоки длиной  $L=12$ см каждая. Ответ дать в см, округлив до целых.

Рисунок 3

Определим по формуле координату центра масс системы:

$$x=\frac{1}{M}\sum^{n}_{k=1} {m_k x_k}$$

Здесь $M$ - масса всей системы, $m_k$ - массы составляющих проволочек, $x_k$ - координаты их центров масс. Для нашей системы

$$x=\frac{m_1 x_1+m_2x_2+m_3 x_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{m\cdot 0+m\cdot\frac{l}{2}\cdot 2}{3m}=\frac{2ml}{6m}=\frac{l}{3}=4$$

Ответ: 4 см.

Задача 4.

Легкий рычаг изогнут так, что стороны его AB=2AC=2CD образуют друг с другом прямые углы. Ось рычага в точке C. Перпендикулярно плечу рычага AB в точке B приложена сила $F=10$ Н. Определить минимальное значение силы, которую нужно приложить в точке D, чтобы рычаг остался в равновесии. Ответ дать в Н, округлить до целых.

Рисунок 4

Плечо силы $F$ равно $AB=2CD$, поэтому придется приложить силу, вдвое большую $F$: 20 H.

Задача 5.

На тонком легком стержне на равных расстояниях  $L=7$ см друг от друга закреплены 3 тела массами $m, 2m$ и $4m$ соответственно. На каком расстоянии от тела массой m находится центр масс системы? Ответ дать в см, округлив до целых.

Понятно, что центр тяжести расположен между большим и средним грузом. Пусть на расстоянии $x$ от него:

Рисунок 5

Тогда условие равновесия:

$$(7+x)mg+2mgx=4mg(7-x)$$

Откуда

$$x=3$$

Поэтому центр тяжести находится в 10 см от тела массой $m$.

Ответ: 10 см.

Попробуем решить по формуле:

$$x=\frac{1}{M}\sum^{n}_{k=1} {m_k x_k}$$

Здесь $M$ - масса всей системы, $m_k$ - массы грузов, $x_k$ - координаты их центров масс. Для нашей системы

$$x=\frac{m_1 x_1+m_2x_2+m_3 x_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{m\cdot 0+2m\cdot7+4m\cdot14}{7m}=\frac{70m}{7m}=10$$

Ответ: 10 см.