Фигуры с вырезами: подвешиваем на нитях

Задача 1.

В сплошной однородной тонкой пластине, имеющей форму круга радиусом $R$ и первоначальную массу $M$вырезали отверстие в 2 раза меньшего радиуса, касающееся края пластины. Пластину подвесили на двух невесомых нитях, как показано на рисунке. Найдите силы натяжения нитей.

Рисунок к задаче 1

Решение. Площадь вырезанного круга равна четверти площади большого, а значит, масса  составляет четверть массы большого. Применим метод отрицательных масс. У вырезанной части - отрицательная масса, и сила тяжести направлена соответствующе: 

Расставим силы

Составим уравнение моментов относительно точки О:

$$T_2R=mg\cdot\frac{R}{2}$$

Откуда

$$T_2=\frac{mg}{2}=\frac{Mg}{8}$$

Но, так как

$$\frac{3}{4}Mg=T_2+T_1$$

То

$$T_1=\frac{3}{4}Mg-T_2=\frac{3}{4}Mg-\frac{Mg}{8}=\frac{5Mg}{8}$$

Ответ: $T_1=\frac{5Mg}{8}$, $T_2=\frac{Mg}{8}$

Задача 2.

Определить, на какой угол $\alpha$ повернется квадрат, подвешенный за вершину, если из него изъять $\frac{1}{4}$ часть, отмеченную на рисунке штриховкой.

Рисунок к задаче 2

Для того, чтобы найти искомый угол, надо найти, где расположится центр масс фигуры без квадрата. Для этого используем геометрический метод. А – центр масс левой половины. B – центр масс правой четверти. Их нужно соединить.

Разбили на части для определения центров масс

Точка пересечения отрезка АВ с осью симметрии DC и будет центром масс полученной фигуры. Он расположен в точке О.

Некоторые геометрические дополнительные построения

Поэтому, если ранее квадрат подвешивали в точке К и вертикаль проходила по прямой КС, то теперь она пройдет по прямой КO. Значит, отклонение произойдет на угол CKO. Его тангенс равен

$$\operatorname{tg} CKO=\frac{CO}{KC}$$

$KC$ - половина диагонали квадрата, поэтому

$$KC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Отрезок ОС найдем, если узнаем координаты точки О. Это можно сделать, если ввести систему координат с началом в точке D. Тогда координаты

$$C\left(\frac{a}{2};\ \ \ \  \frac{a}{2}\right)$$

$$A\left(\frac{a}{4};\ \ \ \  \frac{a}{2}\right)$$

$$B\left(\frac{3a}{4};\ \ \ \  \frac{a}{4}\right)$$

Уравнение прямой DC $y=x$,  уравнение прямой AB

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5a}{8}$$

Точка пересечения найдется, если приравнять уравнения

$$-\frac{1}{2}x+\frac{5a}{8}=x$$

$$x=\frac{5a}{12}$$

Тогда катет синего треугольничка равен $\frac{a}{12}$; $CO=\frac{a\sqrt{2}}{12}$, и

$$\operatorname{tg} CKO=\frac{CO}{KC}=\frac{a\sqrt{2}}{12}\cdot \frac{2}{ a\sqrt{2}}=\frac{1}{6}$$

Ответ: $\alpha=\operatorname{arctg}\frac{1}{6}$