Центр тяжести - подготовка к олимпиадам.

Центр тяжести - такая точка, куда можно сосредоточить всю массу тела. Если подпереть тело под точкой центра тяжести - оно будет пребывать в равновесии.

Задача 1.

Однородную тонкостенную сферу радиуса $R=10$ см разрезали на две части и скрепили так, как показано на рисунке. На какой высоте находится центр тяжести получившегося бокала, если высота его ножки $H=5$ см? Ответ выразить в см, округлив до целых.

К задаче 1

Решение.

Разделим бокал на плоские горизонтальные полоски высотой $h$. Площадь пояска полоски равна $S=2\pi \cdot r\cdot l$, где $l=\frac{h}{\sin\alpha}$ —ширина полоски, $r=R\cdot\sin\alpha$ — ее радиус. Таким образом, получаем, что

$$S=2\pi\cdot R\cdot \sin\alpha\cdot \frac{h}{\sin\alpha }=2\pi\cdot R\cdot h.$$

Видно, что площадь поверхности полоски не зависит от ее радиуса $r$. Следовательно, масса полоски пропорциональна лишь ширине полоски $h$ и равномерно распределена по высоте бокала. Таким образом, центр тяжести бокала находится на половине его высоты, то есть на высоте $H=R=10$ см.

Ответ: 10 см.

Задача 2.

Стержень спаян из двух одинаковых по сечению стержней, изготовленных из материалов с плотностями $4\rho$ и $\rho$. При каком отношении длин стержней $\frac{l_2}{l_1}$ центр тяжести системы будет находиться в плоскости спая? Ответ округлить до целых.

Решение.

Запишем уравнение моментов относительно центра тяжести. Получим, что

$$4\rho\cdot l_1\cdot \frac{l_1}{2}=\rho\cdot l_2\cdot\frac{l_2}{2}$$

откуда

$$\frac{l_2}{l_1}=\sqrt\frac{4\rho}{\rho}=2.$$

Ответ: 2.

Задача 3.

От однородного стержня отрезали кусок длиной $L=40$ см. На сколько сантиметров сместился центр тяжести стержня?

Решение.

Центр тяжести находится посередине однородного стержня. При изменении общей длины на $L$, середина сместится на $0,5L$. Следовательно, центр тяжести стержня сместится на 20 см.

Ответ: 20 см.

Задача 4.

К концам стержня массой $m=2$ кг и длиной $L=120$ см подвешены грузы массами $m_1=1$ кг и $m_2=3$ кг. На каком расстоянии от точки подвеса тела $m_1$ надо подпереть стержень, чтобы он оказался в равновесии? Ответ выразить в см, округлив до целых.

Решение.

На систему «стержень + грузы» будет действовать всего 4 силы. Собственная сила тяжести стержня из середины, силы тяжести грузов по краям и сила реакции опоры. Равновесие достигается в том случае, если линия действия силы реакции опоры пройдёт через центр тяжести системы. Положение центра тяжести относительно тела $m_1$ легко найти по формуле

$$x=\frac{m\cdot \frac{L}{2}+m_2\cdot L}{m+m_1+m_2}=80.$$

Ответ: 80 см.

Задача 5.

Однородная балка массой $m=200$ кг лежит на упоре на расстоянии $\frac{1}{4}$ её длины от одного из её концов. Какую силу, перпендикулярную балке, надо приложить к короткому концу, чтобы удержать её в горизонтальном положении? Ответ выразить в Н, округлив до целых. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/$c^{2}$.

Решение.

На балку будет действовать всего 3 силы: сила тяжести, приложенная в середине, сила нормальной реакции опоры в районе опоры и внешняя сила $F$, направленная вертикально и приложенная к короткому концу. Уравнение моментов относительно опоры будет выглядеть так: $F\cdot L=m\cdot g\cdot L$, где $L$ — четверть длины балки. Откуда $F=m\cdot g=2000$ Н.

Ответ: 2000 Н.