Статика в случае параллельных сил - 2

Еще несколько задач на статику, и опять из хорошего лицея Москвы.

Задача 5.  При каких массах груза $m$ возможно равновесие однородного рычага массы $M$ ? Штрихами рычаг делится на 7 одинаковых частей.

Решение. Рычаг может опрокинуться как влево, так и вправо. Поэтому произведем малые смещения в обе стороны, и составим для обеих ситуаций уравнения моментов.

Если рычаг начнет опрокидываться влево, в правой части нить провиснет и не будет уже воздействовать на наш рычаг. В этом случае уравнение моментов будет таким:

$$Mg\cdot \frac{x}{2}=mgx+mg\cdot 2x$$

Где $x$ - длина одного деления на рычаге.

Имеем:

$$\frac{ Mg }{2}=mg+2mg=3mg$$

Или

$$Mg=6mg$$

Тогда, чтобы не было опрокидывания влево, нужно, чтобы

$$m\geqslant \frac{M}{6}$$

Теперь представим, что все опрокидывается вправо.

Правый груз приподнимется нитью и не будет давить на рычаг. И уравнение моментов  в этом случае таково:

$$Mg\cdot \frac{x}{2}=mgx-T\cdot 3x$$

$$T=mg$$

Следовательно,

$$Mg\cdot \frac{x}{2}=-2mgx$$

$$\frac{ M }{2}=-2m$$

$$m=-\frac{ M }{4}$$

Поскольку правая часть меньше нуля, значит, нет таких масс, которые могли бы опрокинуть систему вправо. Следовательно, ответ:  $m\geqslant \frac{M}{6}$.

 

Задача 6.

Однородная рейка массой $m=2$ кг , подвешенная на двух

нитях, уравновешивается висящим на блоке грузом массой $m_x$. При каких значениях $m_x$   система может находиться в равновесии?

Решение: как и в предыдущей задаче, рассмотрим небольшие смещения вправо-влево и оценим, что при этом происходит.

Если будет небольшое отклонение влево, то самая правая нить провиснет и не будет действовать на рычаг. Тогда уравнение моментов запишется как

$$\frac{m_xg}{2}\cdot x=mg\cdot 2x$$

Или

$$\frac{m_x}{2}=2m$$

$$m_x=4m$$

При больших $m_x$ система опрокинется влево.

Теперь немного отклоним вправо. При этом левая нить ослабнет. Уравнение моментов запишется:

$$mgx=\frac{m_x g}{2}\cdot 2x$$

$$m=\frac{m_x }{2}\cdot 2$$

$$m=m_x$$

При меньших $m_x$ система опрокинется вправо. Поэтому в итоге

$$m\leqslant m_x\leqslant 4m$$

Ответ: $m\leqslant m_x\leqslant 4m$

 

Задача 7.

Доска массой $m$ лежит, выступая на $\frac{3}{7}$ своей длины, на краю обрыва. Длина одной седьмой части доски -  1 м . К свисающему краю доски с помощью блоков и нитей прикреплен противовес, имеющий массу $4m$. На каком расстоянии от края обрыва на доске может стоять человек массой $3m$, чтобы доска оставалась горизонтальной?

Решение.

Рассмотрим, как и в предыдущих задачах, небольшое отклонение вправо, а затем влево. Точка опоры – край обрыва.

Относительно этой точки уравнение моментов

$$mg\cdot \frac{L}{2}=3mgx_{prav}+mg\cdot 2L-2mg\cdot 3L$$

Или

$$\frac{L}{2}=3x_{prav}+ 2L-2\cdot 3L$$

$$3x_{prav}=6,5L-2L=4,5L$$

$$x_{prav}=1,5L$$

Теперь человечек отходит влево, и доска приподнимается, опираясь своей крайней левой точкой.

Уравнение моментов относительно данной  точки опоры

$$3mg(4L-x_{lev})+mg\cdot 3,5L+6mg\cdot L=2mg\cdot 7L$$

$$3(4L-x_{lev})+3,5L+6\cdot L=2\cdot 7L$$

$$3(4L-x_{lev})=14L-6L-3,5L=4,5L$$

$$4L-x_{lev}=1,5L$$

$$ x_{lev}=2,5L$$

Итак, человек может сместиться вправо не более чем на $1,5L$, и влево не более, чем на $2,5L$.

Задача 8.

В одной из двух опор моста установлен датчик, снимающий зависимость силы нормальной реакции опоры $N$ от времени. По мосту проезжает поезд, движущийся с постоянной скоростью. Показания датчика представлены на графике. Мост и поезд можно считать однородными. Длина поезда $l=200$ м . Определите:

а)        массу моста $M$ ;

б)        под какой из опор находится датчик;

в)        массу поезда $m$;

г)         длину моста $L$ ;

д)        скорость поезда $\upsilon$.

Решение. Рассмотрим график. Видно, что с 10-й по 20-ю секунду сила реакции постоянна. Это значит, что поезд находится на мосту, он длиннее моста и центр тяжести той его части, которая находится на мосту, расположен точно посередине моста.

Так как с начала отсчета до 5 с сила реакции равна 0 – то поезд еще не находится на мосту, поэтому сила тяжести моста распределена равномерно между его опорами – по $\frac{Mg}{2}=\frac{5\cdot 10^6 \cdot 10}{2}=25\cdot 10^6$ Н.
С 5 по 10-ю секунду поезд заезжает на мост.

Уравнение моментов

$$N_A \cdot L=Mg\cdot \frac{L}{2}+mg\cdot \frac{x}{l}\left(L-\frac{x}{2}\right)$$

Делим на $L$:

$$N_A=\frac{ Mg}{2}+mg\cdot \frac{x}{l}\left(1-\frac{x}{2L}\right)$$

$$N_A=\frac{ Mg}{2}+ \frac{ mg x}{l}-\frac{mgx^2}{2lL}$$

Видим, что данная зависимость – парабола ветвями вниз. Тогда в точке $B$

$$N_B=Mg-N_A$$

А это парабола ветвями вверх. На графике парабола ветвями вверх расположена с 20 по 25 с, а ветвями вниз – с 5 по 10 с. Значит, датчик находится под опорой А.

С 5 по 10 с поезд заехал на мост, значит, $L=\upsilon\cdot 5$. C 5-ой по 20-ю с мимо точки А прошел весь поезд: $l=\upsilon \cdot 15$ - то есть $L=\frac{l}{3}=66,7$ м.

$$\upsilon=\frac{200}{15}=\frac{40}{3}$$

Если эту скорость перевести в км/ч, то получим 48 км/ч.

Когда весь поезд на мосту, то на опору действует, кроме $\frac{Mg}{2}$, еще и сила тяжести поезда $\frac{mg}{2}\cdot \frac{L}{l}$ - а это $0,8\cdot 10^6$ Н.

$$mg=0,8\cdot 10^6\cdot 2\cdot \frac{200}{66,7}=4,8\cdot 10^6$$

Масса поезда – 480 тонн.

Ответ: масса моста – 5000 тонн, датчик находится под опорой А, масса поезда – 480 тонн, длина моста примерно 67 м, скорость поезда – 48 км/ч.

 

Задача 9.

Балансборд – тренажёр для тренировки чувства равновесия, представляет собой лёгкую жёсткую доску, лежащую на цилиндрическом ролике. Базовое упражнение заключается в том, чтобы сохранять равновесие, перекатываясь на ролике, при этом желательно, чтобы доска располагалась практически горизонтально. Пусть взаимодействие ступней ног с доской происходит в точках A и B , и положение точек A и B относительно доски не меняется при выполнении упражнения. Ролик по полу и по доске не проскальзывает. В крайнем правом положении расстояния по горизонтали между точками A и B и вертикальной прямой, на которой лежит ось ролика C ,            равны $L_1$ и $L_2$ соответственно. Человек перекатывается      в          крайнее            левое            положение,           в котором расстояние между точкой A и C по горизонтали становится равным $L_2$.

а)       На какое расстояние по горизонтали смещается центр масс человека: относительно доски; относительно земли?

б)        На какое расстояние по горизонтали смещается точка A?

Решение.

По сравнению с массой человека массой доски можно пренебречь.

Если центр масс человека находится не над точкой $C$, то доска начинает опрокидываться (так как по условию трения нет). В реальности в присутствии трения небольшие углы отклонения могут быть и при этом равновесие сохранится.

Перейдем в систему отсчета, связанную с точкой $C$. В этой системе отсчета центр колеса неподвижен. Доска смещается на $L_1-L_2$ вправо, земля – на $L_1-L_2$ влево, центр масс человека неподвижен и всегда над точкой $C$. Так как доска смещается на $L_1-L_2$ вправо, то центр масс смещается относительно нее на $L_1-L_2$ влево. Аналогично, так как земля смещается на $L_1-L_2$ влево, то центр масс человека относительно земли смещается на $L_1-L_2$ вправо.

Точка $A$ смещается относительно точки $C$ вправо на $L_1-L_2$, а земля влево на $L_1-L_2$, значит, точка $A$ относительно земли смещается вправо на $2(L_1-L_2)$.

Ответ: центр масс человека смещается относительно доски на $L_1-L_2$ влево, относительно земли - на $L_1-L_2$ вправо. Точка $A$ смещается на $2(L_1-L_2)$ вправо.