Стержни на нитях

Задача 1.

Однородная рейка массой $M=300$ г, висящая на двух нитях, уравновешена   подвешенным к ее правому краю грузом массой $m$ (рис.). При каких значениях массы этого груза система может находиться в равновесии?

На основании анализа условия, выберите все верные утверждения и укажите в ответе их номера.

 1) Минимальная масса груза, при которой система может находиться в равновесии, равна 0

2) Максимальная масса груза, при которой система может находиться в равновесии, равна 200 г

3) Минимально возможная сила натяжения правой нити, при которой система может находиться в равновесии, равна 2 Н

4) Максимально возможная сила натяжения правой нити, при которой система может находиться в равновесии, равна 4,5 Н

5) Максимальная масса груза, при которой система может находиться в равновесии, равна 140 г

Решение. Запишем уравнение моментов для обеих точек прикрепления нитей. Для левой ($T_1$):

$$Mg\cdot 2+ mg\cdot 5=T_2\cdot 3$$

Для правой нити ($T_2$:

$$T_1\cdot 3+ mg\cdot 2=Mg\cdot 1$$

$$T_2=\frac{Mg\cdot 2+mg\cdot 5}{3}$$

$$T_1=\frac{Mg-2mg}{3}$$

 Ответ: 13

Задача 2.

Однородный стержень длиной 1 м с массой 1,5 кг подвешен на трех одинаковых длинных легких практически нерастяжимых нитях таким образом, что все три нити вертикальны. При этом одна из нитей прикреплена к левому концу стержня, а две других – к точкам, расположенным в 25 см от концов стержня. К правому концу стержня прикрепляют маленький по размеру груз. При какой минимальной массе этого груза первая нить провиснет? При какой его массе провиснут две нити?

Решение. Первое, что приходит в голову – Ньютон.

$$T_1+T_2+T_3=Mg+mg$$

Из подобия и теоремы Фалеса следует:

$$z=\frac{x+y}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{x+y}{3}$$

Перепишем как:

$$T_2=\frac{T_1+T_3}{3}$$

$$3T_2=T_1+T_3$$

Тогда

$$4T_2=(M+m)g$$

$$T_2=\frac{(M+m)g}{4}$$

Уравнение моментов относительно точки А:

$$T_2\cdot \frac{L}{4}+T_3\cdot \frac{3L}{4}=mgL+Mg\cdot\frac{L}{2}$$

$$T_2+3T_3=4mg+2Mg$$

$$3T_3=4mg+2Mg-T_2$$

$$3T_3=4mg+2Mg-\frac{(M+m)g}{4}$$

$$T_3=\frac{3,75mg+1,75Mg}{3}$$

$$T_1=Mg+mg-T_2-T_3$$

$$T_1=Mg+mg-\frac{(M+m)g}{4}-1,25mg-\frac{7}{12}Mg$$

$$T_1=\frac{Mg}{6}-0,5mg$$

Если $T_1=0$, то

$$\frac{Mg}{6}=0,5mg$$

$$m=\frac{1}{3}M=0,5$$

Если первая нить провисла, то переписываем уравнения:

$$Mg+mg=T_2^*+T_3^*$$

Уравнение моментов относительно точки В (место крепления второй нити)

$$T_3^*\cdot\frac{L}{2}=mg\cdot\frac{3L}{4}+Mg\cdot\frac{L}{4}$$

$$Mg+3mg=2T_3^*$$

$$T_2^*=Mg+mg-T_3^*$$

$$T_2^*=Mg+mg-\frac{Mg+3mg}{2}$$

$$T_2^*=\frac{Mg}{2}-\frac{mg}{2}=0$$

Тогда $M=m$

Ответ: первая нить провиснет при $m=0,5$ кг, вторая - при $m=M=1,5$ кг.

Задача 3. Однородный стержень массой 2 кг подвешен к горизонтальному потолку на трёх вертикальных нитях одинаковой длины, изготовленных из одинакового материала, только у крайних (прикреплённых к концам стержня) площадь поперечного сечения одинакова, а у средней (прикреплённой к середине стержня) — в два раза больше. Деформации нитей очень малы, а деформациями стержня и потолка можно полностью пренебречь. Найдите величины сил натяжения всех трёх нитей. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с². Ответы выразите в ньютонах, округлив до целого числа.

А) Величина силы натяжения каждой из двух крайних нитей

Б) Величина силы натяжения центральной нити

Решение: так как толщина средней нити больше, то у нее больше жесткость (вдвое больше). Таким образом, ее сила натяжения вдвое больше, чем у крайних.

$$mg=F+F+2F=4F$$

$$F=\frac{mg}{4}=\frac{20}{4}=5$$

Таким образом, А)  - 5 Н, Б) – 10 Н.