Силы упругости: пружины, канаты и нити

В задачах в этой статьи рассмотрены случаи, когда тело поднимают или опускают с ускорением. При этом натяжение нити, на которой подвешен груз, разное. Даны примеры составления уравнений по второму закону Ньютона в проекциях на оси.

Задача 1.

Грузовик взял на буксир легковой автомобиль массой $m=2$ т и, двигаясь равноускоренно, за $t=50$ с проехал $s=400$ м. На сколько при этом удлиняется трос, соединяющий автомобили, если его жесткость $k=2\cdot 10^6$ Н/м? Трение не учитывать.

Удлинение троса можно найти, зная силу упругости:

$$F_{upr}=k \Delta x$$

$$\Delta x=\frac{ F_{upr}}{ k }$$

Так как трение учитывать не нужно, то по второму закону Ньютона

$$ma= F_{upr}$$

Следовательно,

$$\Delta x=\frac{ ma }{ k }$$

Определим ускорение грузовика:

$$S=\frac{at^2}{2}$$

$$a=\frac{2S}{t^2}$$

Окончательно для удлинения троса получаем:

$$\Delta x=\frac{ 2mS }{ k t^2}=\frac{ 2\cdot2000\cdot800 }{ 2\cdot 10^6\cdot2500}=6,4\cdot10^{-4}$$

Ответ получен в метрах, можно записать его в мм: 0,64 мм.

 

Задача 2.

На нити, выдерживающей натяжение $T=20$ Н, поднимают груз массой $m=1$ кг из состояния покоя вертикально вверх. Считая движение равноускоренным, найти предельную высоту $h$, на которую можно поднять груз за $t=1$ с так, чтобы нить не оборвалась.

Запишем второй закон Ньютона в проекция на вертикальную ось:

$$ma=-mg+T$$

Тогда ускорение равно:

$$a=\frac{T}{m}-g$$

Высота, на которую тело можно поднять с таким ускорением, равна

$$h=\frac{at^2}{2}=\left(\frac{T}{m}-g\right) \frac{t^2}{2}=(20-10)\frac{1}{2}=5$$

Ответ: 5 м

 

Задача 3.

Веревка выдерживает груз массой $m_1=110$ кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой $m_2=690$ кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса груза $m$, который можно поднимать или опускать на этой веревке с постоянной скоростью?

Запишем уравнения по второму закону как для подъема, так и для спуска тела. Направим ось вверх, тогда при подъеме:

$$m_1a=T-m_1g$$

При спуске:

$$m_2a=m_2g-T$$

Ускорение по условию одно и то же, тогда:

$$a=\frac{ T-m_1g }{ m_1}$$

Или

$$a=\frac{ m_2g-T}{ m_2}$$

Приравняв, можем найти силу натяжения веревки, которую она выдерживает:

$$\frac{ T-m_1g }{ m_1}=\frac{ m_2g-T}{ m_2}$$

$$( T-m_1g ) m_2=( m_2g-T) m_1$$

$$ T m_2+Tm_1= 2gm_1 m_2$$

$$ T =  \frac{2gm_1 m_2}{ m_2+m_1}$$

Если бы груз массой $M$ просто висел на такой веревке, то мы бы записали

$$T=Mg$$

Следовательно,

$$ T =  \frac{2gm_1 m_2}{ m_2+m_1}= Mg $$

$$M=\frac{2m_1 m_2}{ m_2+m_1}=\frac{2\cdot110 \cdot 690}{ 110+690}=189,75$$

Ответ: 190 кг

Задача 4.

Груз массой $m=1$ кг подвешен к пружине жесткостью $k=98$ Н/м. Длина пружины в нерастянутом состоянии $l_0=0,2$ м. Найти длину пружины $l_1$, когда на ней висит груз. Какой будет длина пружины, если пружина с грузом будет находиться в лифте, движущемся с ускорением $a=4,9$ м/с$^2$, направленным а) вверх; б) вниз?

Если груз повешен на пружину, ее длина увеличивается:

$$l_1=l_0+\Delta x=l_0+\frac{ F_{upr}}{ k }=l_0+\frac{ mg}{ k }=0,2+\frac{9,8}{98}=0,3$$

При движении лифта вверх запишем второй закон (ось направлена вверх):

$$ ma= F_{upr1}-mg$$

$$ F_{upr1}=m(g+a)$$

Тогда длина пружины в этом случае:

$$l_2=l_0+\frac{ F_{upr1}}{ k }=l_0+\frac{ m(g+a)}{ k }=0,2+\frac{9,8+4,9}{98}=0,35$$

При движении лифта вниз запишем второй закон (ось направлена вверх):

$$ -ma= F_{upr2}-mg$$

$$ F_{upr2}=m(g-a)$$

Тогда длина пружины в этом случае:

$$l_3=l_0+\frac{ F_{upr2}}{ k }=l_0+\frac{ m(g-a)}{ k }=0,2+\frac{9,8-4,9}{98}=0,25$$

Ответ: $l_1=0,3$, $l_2=0,35$, $l_3=0,25$.

 

Задача 5.

Четырьмя натянутыми нитями груз закреплен на тележке. Силы натяжения горизонтальных нитей соответственно $T_1$ и $T_2$, а вертикальных - $T_3$ и $T_4$. С каким ускорением движется тележка по горизонтальной плоскости?

Запишем уравнения по второму закону в проекциях на оси, которые расположим традиционно: ось $x$ вправо, ось $y$ - вверх. Тогда, если тележка движется вправо, по оси, имеем:

$$ma=T_2-T_1$$

$$T_4-T_3-mg=0$$

Из второго уравнения найдем массу груза:

$$mg= T_4-T_3$$

$$m=\frac{ T_4-T_3}{g}$$

Тогда ускорение тележки (и груза) равно:

$$a=\frac{ T_2-T_1}{m}$$

$$a=\frac{ g(T_2-T_1}{ T_4-T_3}$$

Если же тележка движется влево (против оси), то изменится только первое уравнение:

$$-ma=T_2-T_1$$

$$T_4-T_3-mg=0$$

Тогда ускорение тележки (и груза) равно:

$$a=\frac{ T_1-T_2}{m}=\frac{ g(T_1-T_2}{ T_4-T_3}$$