Пружины. Задачи части С ЕГЭ по физике и олимпиадные

В этой статье собраны задачи, в которых так или иначе присутствует сила упругости. Задачи прошлых лет ЕГЭ или из олимпиадных подборок.

Задача 1.

Две невесомые пружины прикреплены к верхнему и нижнему торцам неподвижного цилиндра. Концы пружин соединены. Жесткость верхней пружины равна $k_1 = 10$ Н/м, жесткость нижней $k_2 = 20$ Н/м. Пружины находятся в нерастянутом состоянии. Между ними вставили тонкую платформу массой $M = 1,2$ кг. Пружины прикрепляют к платформе (см. рис.). На сколько при этом растянулась верхняя пружина?

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для груза:

$$0=Mg-F_{upr1}-F_{upr2}$$

Здесь $ F_{upr1}$ - сила упругости верхней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет тянуть платформу вверх. $ F_{upr2}$ - сила упругости нижней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет толкать платформу вверх.

Тогда

$$k_1\Delta x_1+k_2 \Delta x_2=mg$$

При этом на сколько растянулась верхняя пружина, на столько же сжалась нижняя: $\Delta x_1=\Delta x_2$. Следовательно,

$$\Delta x_1=\frac{mg}{k_1+k_2}=0,4$$

Ответ: 40 см.

Задача 2.

К потолку прикреплена конструкция, состоящая из двух пружин и двух маленьких чашек A и B. Расстояние от пола до потолка равно 2 м. Жесткости пружин равны $k_1 = 15$ Н/м и $k_2  = 30$ Н/м. Длины нерастянутых пружин одинаковы и равны 30 см. Масса чашки A равна $m = 100$ г, чашка B невесома. Груз какой массы надо положить в чашку A, чтобы чашка B достала до пола? Какой груз надо положить в чашку B, чтобы она достала до пола (чашка A при этом пуста)?

Чтобы чашка В достала до пола, нужно, чтобы первая пружина растянулась до длины 1,7 м – тогда нерастянутая вторая пружина длиной 30 см коснется пола. Тогда удлинение пружины А должно составить 1 м 40 см. Следовательно,

$$F_1=\Delta x_1 k_1=m_1g$$

$$m_1=\frac{\Delta x_1 k_1}{g}=\frac{1,4\cdot15}{10}=2,1$$

Но сама чаша весит 100 г, следовательно, добавив 2 кг в чашу, мы обеспечим нужную силу.

Система из двух пружинок, соединенныx последовательно, имеет жесткость

$$k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}=\frac{15\cdot30}{45}=10$$

Растягивать всю систему будем на 1,4 м – именно столько чашку В отделяет от пола.

$$F_2=\Delta x_2 k=m_2g$$

$$m_2=\frac{\Delta x_2}{g}=\frac{1,4\cdot10}{10}=1,4$$

Так как чашка А весит 100 г, то в этом случае масса дополнительного груза будет 1,3 кг.

Ответ: а) 2 кг;  б)1,3 кг.

Задача 3.

Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между ними находится сжатая и связанная нитью пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, отклоняя шарики в разные стороны на одинаковые углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой, если отношение масс $\frac{m_2}{m_1} =1,5$? Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей.

Когда пружина толкнет шарики, они начнут двигаться по окружностям радиусов $L_1$ и $L_2$ соответственно. Первый поднимется при этом на высоту $h_1$, а второй – на высоту $h_2$ . Определим эти высоты:

$$h_1=L_1-L_1\cos{\alpha}=L_1(1-\cos{\alpha})$$

$$h_2=L_2-L_2\cos{\alpha}=L_2(1-\cos{\alpha})$$

По закону сохранения импульса

$$m_1\upsilon_1=m_2\upsilon_2$$

Возведем в квадрат:

$$ m_1^2\upsilon_1^2=m_2^2\upsilon_2^2$$

Или

$$\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}=\frac{ m_2^2}{ m_1^2}$$

Из равенства кинетической и потенциальной энергий следует, что

$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}=m_1gh_1$$

$$\upsilon_1^2=2gh_1$$

И аналогично

$$\upsilon_2^2=2gh_2$$

Поэтому

$$\frac{h_1}{h_2}=\frac{ m_2^2}{ m_1^2}$$

Подставим выражения, полученные вначале:

$$\frac{ L_1(1-\cos{\alpha})}{ L_2(1-\cos{\alpha})}=\frac{ m_2^2}{ m_1^2}$$

Сократим:

$$\frac{ L_1}{ L_2}=\frac{ m_2^2}{ m_1^2}=2,25$$

Ответ: $\frac{ L_1}{ L_2}=2,25$.

Задача 4.

Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с периодом 0,5 с вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно отношение массы бруска к массе грузика?

Координата грузика при колебаниях может быть записана как

$$x=x_0\cos \omega t$$

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

Запишем второй закон Ньютона для грузика:

$$ma=mg-F_{upr}$$

Запишем второй закон Ньютона для бруска:

$$ F_{upr}=F_{tr}$$

Сила трения скольжения равна

$$ F_{tr}=\mu M g$$

Тогда, чтобы брусок не поехал под действием качаний грузика, нужно, чтобы соблюдалось условие:

$$ mg –ma \leqslant \mu M g$$

Откуда отношение масс равно

$$\frac{M}{m}=\frac{ g –a }{\mu  g }$$

Определить ускорение можно, взяв вторую производную по координате:

$$\upsilon=x’=-\omega x_0\sin\omega t$$

$$a=x’’=-\omega^2 x_0 \cos \omega t$$

Максимальное ускорение равно

$$a_{max}=-\omega^2 x_0=-\frac{4\pi^2 x_0}{T^2}$$

Подставим это ускорение в полученное отношение масс:

$$\frac{M}{m}=\frac{ g +\frac{4\pi^2 x_0}{T^2} }{\mu  g }=\frac{ 10 +\frac{4\pi^2\cdot0,04}{0,25} }{2,5}=6,53$$

Ответ: $\frac{M}{m}=6,53$

Задача 5. Пружинное ружьё наклонено под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту. Энергия сжатой пружины равна 0,41 Дж. При выстреле шарик массой $m= 50$ г проходит по стволу ружья расстояние $b$, вылетает и падает на расстоянии $L = 1$ м от дула ружья в точку $M$, находящуюся с ним на одной высоте (см. рис.). Найдите расстояние $b$. Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь.

Определим скорость шарика при вылете из ружья $\upsilon_0$.

По горизонтали шарик полетит равномерно со скоростью $\upsilon_0\cos{\alpha}$:

$$\upsilon_0\cos{\alpha}\cdot 2t=L$$

По вертикали шарик будет иметь начальную скорость $\upsilon_0\sin{\alpha}$, и она станет равной нулю в максимальной точке подъема:

$$\upsilon(y_{max})=0=\upsilon_0\sin{\alpha}-gt$$

Тогда время полета до максимальной точки подъема

$$t=\frac{L}{2\upsilon_0\cos{\alpha}}=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}$$

Откуда скорость $\upsilon_0$ равна

$$\upsilon_0^2=\frac{Lg}{2\sin{2\alpha}}=\frac{10}{\sqrt{3}}=11,56$$

$$\upsilon_0=3,4$$

Определим скорость шарика вначале. Вся энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика:

$$E=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2E}{m}}=\sqrt{\frac{0,82}{0,05}}=4,05$$

Таким образом, в начале трубы скорость была 4,05, а в конце – 3,4 м/с. Составим закон сохранения энергии. Учтем, что конец трубы приподнят относительно начала, следовательно, часть энергии шарика превратилась в потенциальную:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{m\upsilon_0^2}{2}=mgh$$

Откуда

$$h=\frac{\upsilon^2-\upsilon_0^2}{2g}=\frac{16,4-11,56}{20}=0,242$$

Тогда длина ствола больше вдвое, так как катет, лежащий против угла в тридцать градусов, вдвое короче гипотенузы. $b=2h=2\cdot0,242=0,484$.

Ответ: 48 см.