Подготовка к олимпиадам: сила упругости, 7 класс

На олимпиадах для 7 класса встречаются задачи на силу упругости, где системы, кроме пружин, могут включать в себя разные блоки (и подвижные, и нет). Да и сами пружины соединяются между собой по-разному.

Задача 1.

 Если пружину растягивать силой $F_1=30$ Н, её длина будет равна $L_1=28$ см, а если сжимать силой $F_2=30$ Н, то её длина будет равна $L_2=22$ см. Найдите длину пружины $L$ в недеформированном состоянии и коэффициент $k$ жесткости пружины.

Запишем силу упругости для обоих случаев:

$$F_1=k(l_1-l_0)$$

$$ F_2=k(l_0-l_2)$$

Откуда

$$ l_1-l_0= l_0-l_2$$

$$l_0=\frac{l_1+l_2}{2}=\frac{28+22}{2}=25$$

Тогда жесткость пружины равна

$$k=\frac{F_1}{l_1-l_0}=\frac{30}{(28-25)\cdot10^{-2}}=1000$$

Ответ: 25 см, 1000 Н/м.

Задача 2.

Пружины, жесткость каждой из которых $k=10$ Н/м, соединены, как показано на рисунке. С какой силой $F$ нужно растягивать систему, чтобы точка приложения силы опустилась на $\Delta x=10$ см?

К задаче 2.

Под действием силы $F$ нижняя и верхняя пружины растянутся на

$$\Delta x_1=\frac{F}{k}$$

Средние две пружины соединены параллельно, каждая из них растягивается силой $\frac{F}{2 }$, поэтому такая система имеет вдвое большую жесткость:

$$\Delta x_2=\frac{F}{2k}$$
И растянется на $\frac{\Delta x_1}{2}$:

$$\Delta x_2=\frac{\Delta x_1}{2}$$

Поэтому вся система полностью растянется на $2,5\Delta x_1$. Следовательно,

$$2,5\Delta x_1=\Delta x$$

$$\Delta x_1=\frac{=\Delta x }{2,5}=\frac{10}{2,5}=4$$

Тогда сила

$$F=k\Delta x_1=10\cdot0,04=0,4$$

Ответ: 0,4 Н.

Задача 3.

Изначально нить, перекинутая через блок, не натянута. К свободному концу нити прикладывают силу $F$. На сколько сместится конец нити под действием этой силы? Определите эквивалентный коэффициент жесткости системы. Жесткости пружин известны и указаны на рисунке.

К задаче 3.

Пружину, как видно из расставленных на рисунке сил, растягивает сила $2F$. Растяжение пружины равно

$$\Delta x_1=\frac{2F}{k}$$

Если блок опустится на $\Delta x_1$, то справа высвободится кусок нити такой же длины  (показано синим). Но и слева тоже высвободится аналогичный кусок. Тогда конец нити опускается на

$$\Delta x= 2\Delta x_1=2\frac{2F}{k}=\frac{4F}{k}$$

Но, следовательно, жесткость системы

$$k’=\frac{F}{\Delta x }=\frac{k}{4}$$

Жесткость всей системы меньше жесткости пружины вчетверо.

Ответ: $k’=\frac{k}{4}$.

Задача 4.

Изначально нить, перекинутая через блок, не натянута. К свободному концу нити прикладывают силу $F$. На сколько сместится конец нити под действием этой силы? Определите эквивалентный коэффициент жесткости системы. Жесткости пружин известны и указаны на рисунке.

Задача та же, но рисунок другой:

К задаче 4.

Нижнюю пружину растягивает сила $F$, а верхнюю - $2F$. Если нижняя растянется на $\Delta x_1$, то верхняя – на $2\Delta x_1$, таким образом высвобождая по куску нити справа и слева длиной $2\Delta x_1$. Следовательно, точка $A$ опустится на $4\Delta x_1$ за счет высвободившейся нити и на $\Delta x_1$ - за счет растяжения нижней пружины. Всего на $5\Delta x_1$. Тогда

$$\Delta x= 5\Delta x_1=\frac{5F}{k}$$

И, следовательно, жесткость системы

$$k’=\frac{F}{\Delta x }=\frac{k}{5}$$

Ответ: $k’=\frac{k}{5}$.

Задача 5.

В спортивном зале есть тренажер, состоящий из двух пружин, подвешенных к потолку. Жесткости пружин равны $k_1$ и $k_2$, длина пружин одинаковая и равна $L=40$ см. Если потянуть за пружину в точке А с силой $F_1=360$ Н вниз, то нижняя пружина коснется пола. Если потянуть за точку В с силой $F_2=240$ Н вниз, то эта точка коснется пола. Определите жесткости пружин, если известно, что высота потолка в зале $H=2$ м.

К задаче 5.

Когда будем тянуть за точку $A$, то растягивать мы будем только верхнюю пружину, и растянем ее так, что ее длина достигнет 1м 60см, и тогда нерастянутая нижняя пружина коснется пола.  То есть удлинение верхней составит 120 см.

$$L+\Delta l_1=H-L$$

$$\Delta l_1=H-2L=1,2$$

$$k_1=\frac{F_1}{\Delta l_1}=\frac{360}{1,2}=300$$

Когда будем тянуть за точку $B$, будут растягиваться обе пружины.

$$\frac{F_2}{k_1}+\frac{F_2}{k_2}=H-2L$$

$$\frac{240}{300}+\frac{240}{k_2}=1,2$$

Откуда

$$k_2=\frac{240}{0,4}=600$$

Ответ: $k_1=300$ Н/м, $k_2=600$ Н/м.

Задача 6.

Какую силу надо приложить к невесомому блоку, подвешенному на двух пружинах, имеющих коэффициенты жесткости $k=10$ Н/м и $2k$ чтобы сместить его вниз на расстояние $x=5$ см?

К задаче 6.

Здесь надо обратить внимание на то, что пружины имеют разную жесткость, и поэтому под действием одной и той же силы растянутся по-разному. Так как блок подвижный, то на обе пружины действуют силы $\frac{F}{2}$:

$$\Delta x_1=\frac{F}{2k_1}=\frac{F}{2k}$$

$$\Delta x_2=\frac{F}{2k_2}=\frac{F}{4k}=\frac{\Delta x_1}{2}$$

Если блок опускается на $x$, то каждая из точек нитей опускается на $x$, поэтому

$$2x=\Delta x_1+\Delta x_2$$

$$x=\frac{\Delta x_1+\Delta x_2}{2}=\frac{F}{4k}+\frac{F}{8k}=\frac{3F}{8k}$$

Тогда

$$F=\frac{8kx}{3}=\frac{8\cdot10\cdot0,05}{3}=\frac{4}{3}$$

Ответ: $F=\frac{4}{3}$ Н.