Канат в трубе и две пружины

Задача 1.

Изогнутая под прямым углом гладкая трубка закреплена так, что один из её концов направлен вертикально вниз. Внутри трубки покоится однородная гибкая массивная прочная верёвка длиной $L=50$ см, диаметр которой чуть меньше диаметра трубки. Верхний конец верёвки через отрезок невесомой нерастяжимой нити соединён с лёгкой пружиной, другой конец которой закреплён так, что ось пружины горизонтальна и совпадает с осью нити. К нижнему концу верёвки, не оттягивая его, прикрепляют груз массой $M=1,5$ кг. После отпускания груза без начальной скорости он некоторое время движется вниз с постоянным ускорением $a=0,2g$ ($g$ — ускорение свободного падения). Найдите коэффициент жёсткости пружины $k$. Ответ выразите в Н/м, округлив до целого числа. Ускорение свободного падения считайте равным $g=10$ м/с$^2$.

Рисунок к задаче 1

Решение. Пусть $1-n$ – доля свисающей части веревки. Уравнение по второму закону Ньютона для начального состояния

$$mg\cdot (1-n)=kx_0$$

Когда подвесили груз, добавилась еще часть $x$ к свисающей части, пружина растянута уже не на $x_0$, а на $x_0+x$:

$$(m+M)a=Mg+mg(1-n)+\frac{mgx}{L}-k(x_0+x)$$

Преобразуем:

$$(m+M)a=Mg+mg(1-n)+\frac{mgx}{L}-kx_0-kx$$

Используем первое уравнение и заменяем $kx_0$:

$$(m+M)a=Mg+mg(1-n)+\frac{mgx}{L}-mg(1-n)-kx$$

$$(m+M)a=Mg+\frac{mgx}{L}-kx$$

Так как $(m+M)a$ - постоянная величина, $Mg$ - также постоянная величина, то и $\frac{mgx}{L}-kx$  -тоже постоянная величина, то есть ноль.

$$\frac{mgx}{L}-kx=0$$

$$k=\frac{mg}{L}$$

Теперь уравнение по второму закону Ньютона будет выглядеть так:

$$ma=Mg-Ma$$

$$m=\frac{M(g-a)}{a}$$

$$k=\frac{mg}{L}=\frac{Mg(g-a)}{aL}=\frac{1,5\cdot 10\cdot 0,8\cdot 10}{2\cdot 0,5}=120$$

Ответ: 120 Н/м

Задача 2.

Две невесомые пружины имеют длины $l_1, l_2$ и жёсткости $k_1, k_2$. Одна пружина вставлена в другую. Концы пружин попарно скреплены. Другими точками пружины друг друга не касаются.

А) Определите длину конструкции.

Б) Какова жёсткость $k$ получившейся пружины?

Рисунок ко второй задаче

Решение. Пусть для определенности $l_1>l_2,\ \ \ \ k_1<k_2$ Тогда первая пружина сжата, а вторая – растянута:

$$k_1\Delta l_1=k_2\Delta l_2$$

$$\Delta l_2=\frac{ k_1\Delta l_1}{ k_2}$$

$$l=l_1-\Delta l_1$$

$$l=l_2+\Delta l_2$$

Следовательно,

$$ l_1-\Delta l_1= l_2+\Delta l_2$$

Или

$$ l_1-l_2=\Delta l_1+\Delta l_2=\Delta l_1\left(1+\frac{k_1}{k_2}\right)$$

$$\Delta l_1=\frac{( l_1-l_2)k_2}{k_1+k_2}$$

$$l=l_1-\Delta l_1=l_1-\frac{(l_1-l_2)k_2}{k_1+k_2}=\frac{k_1l_1+k_2l_2}{k_1+k_2}$$

Если $l_2>l_1$то индексы везде поменяются и получится то же самое выражение.

$$\Delta l_1=\frac{F}{k_1}$$

$$\Delta l_2=\frac{F}{k_2}$$

Растягиваем конструкцию, прикладывая с обеих сторон силу $F$.

Так как $l_1>l_2$, то $l_1$ сжата, $l_2$ растянута.

$$k_{eff}=\frac{F}{\Delta l}$$

$$F_2=k_2(\Delta l+\Delta l_2)=k_2\Delta l+F$$

$$F_1=k_1(\Delta l_1-\Delta l)=F-k_1\Delta l$$

Силы на пружины

Силы направлены, как показано на рисунке.

$$F_2=F_1+F$$

$$k_2\Delta l+F=F-k_1\Delta l+F$$

$$k_2\Delta l=F-k_1\Delta l$$

$$F=\Delta l(k_1+k_2)$$

$$ k_{eff}=\frac{F}{\Delta l}=k_1+k_2$$

Ответ: длина пружины $l=\frac{k_1l_1+k_2l_2}{k_1+k_2}$, эффективная жесткость $ k_{eff}= k_1+k_2$.