Эквивалентная жесткость системы пружин с блоками

Задача.

Изначально невесомая нить, перекинутая через блок, не натянута. К свободному концу нити прикладывают силу $F$. На сколько сместится конец нити под действием этой силы? Определите эквивалентный коэффициент жесткости системы. Жесткости пружин известны и указаны на рисунке.

                  

Нить всюду натянута одинаково. Поэтому на блок будут действовать две силы $F$, с обеих сторон. Таким образом, на пружину действует сила $2F$, и растянута пружина будет на величину

$$x_1=\frac{2F}{k}$$

Но за  растяжением пружины последует ход блока: он опустится на расстояние $x_1$. А это означает, что высвободится кусок нити длиной $\Delta x=2x_1=\frac{4F}{k}$. Это – ответ на первый вопрос задачи. Эквивалентная жесткость системы будет равна

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x}=\frac{F}{\frac{4F}{k}}=\frac{k}{4}$$

Ответ: $2x_1=\frac{4F}{k}$, $k_{ekv}=\frac{k}{4}$

              

 

Нить всюду натянута одинаково. Поэтому на блок будут действовать две силы $F$, с обеих сторон. Таким образом, на верхнюю пружину действует сила $2F$, и растянута пружина будет на величину

$$x_1=\frac{2F}{k}$$

Но за растяжением пружины последует ход блока: он опустится на расстояние $x_1$. А это означает, что высвободится кусок нити длиной $2x_1=\frac{4F}{k}$.

На нижнюю пружину действует сила $F$ и нижняя пружина растянута на

$$x_2=\frac{F}{k}$$

Это вызовет движение точки приложения силы $F$ еще на $x_2$ вниз. Таким образом, она сместится на

$$\Delta x=2x_1+x_2=\frac{4F}{k}+\frac{F}{k}=\frac{5F}{k}$$

Это – ответ на первый вопрос задачи. Эквивалентная жесткость системы будет равна

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x}=\frac{F}{\frac{5F}{k}}=\frac{k}{5}$$

Ответ: $\Delta x=\frac{5F}{k}$, $k_{ekv}=\frac{k}{5}$

                 

 

Обе нити всюду натянуты одинаково. Поэтому на нижний блок будут действовать две силы $F$, с обеих сторон. Таким образом, на нижнюю пружину действует сила $2F$, и растянута пружина будет на величину

$$x_1=\frac{2F}{k}$$

Но за растяжением пружины последует ход блока: он поднимется на расстояние $x_1$. А это означает, что высвободится кусок нити длиной $2x_1=\frac{4F}{k}$.

На верхнюю пружину действует сила $\frac{F}{2}$ и верхняя пружина растянута на

$$x_2=\frac{F}{2k}$$

Это вызовет движение блока на $\frac{x_2}{2}$ вниз и точки приложения силы $F$ еще на $\frac{x_2}{2}$ вверх. Таким образом, она сместится на

$$\Delta x=2x_1+\frac{x_2}{2}=\frac{4F}{k}+\frac{F}{4k}=\frac{17F}{4k}$$

Это – ответ на первый вопрос задачи. Эквивалентная жесткость системы будет равна

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x}=\frac{F}{\frac{17F}{4k}}=\frac{4k}{17}$$

Ответ: $\Delta x=\frac{17F}{4k}$, $k_{ekv}=\frac{4k}{17}$

                                    

 

Нить всюду натянута одинаково. Поэтому на нижний блок будут действовать две силы $F$, с обеих сторон. Таким образом, на нижнюю пружину действует сила $2F$, и растянута пружина будет на величину

$$x_1=\frac{2F}{4k}$$

Но за растяжением пружины последует ход блока: он поднимется на расстояние $x_1$. А это означает, что высвободится кусок нити длиной $2x_1=\frac{4F}{4k}=\frac{F}{k}$.

На верхнюю пружину действует сила $2F$ и верхняя пружина растянута на

$$x_2=\frac{2F}{k}$$

Это вызовет движение блока на $x_2$ вниз и точки приложения силы $F$ еще на $2x_2$ вверх. Таким образом, она сместится на

$$\Delta x=2x_1+2x_2=\frac{F}{k}+\frac{4F}{k}=\frac{5F}{k}$$

Это – ответ на первый вопрос задачи. Эквивалентная жесткость системы будет равна

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x}=\frac{F}{\frac{5F}{k}}=\frac{k}{5}$$

Ответ: $\Delta x=\frac{5F}{k}$, $k_{ekv}=\frac{k}{5}$

                                        

 

Нить всюду натянута одинаково. Поэтому на нижний блок будут действовать две силы $F$, с обеих сторон. Таким образом, на нижнюю правую пружину действует сила $2F$, и растянута пружина будет на величину

$$x_1=\frac{2F}{2k}=\frac{F}{k}$$

Но за растяжением пружины последует ход блока: он поднимется на расстояние $x_1$. А это означает, что высвободится кусок нити длиной $2x_1=\frac{2F}{k}$.

На верхнюю пружину действует сила $2F$ и верхняя пружина растянута на

$$x_2=\frac{2F}{k}$$

Это вызовет движение блока на $x_2$ вниз и точки приложения силы $F$ еще на $2x_2$ вверх.

На левую нижнюю пружину действует сила $F$, и она растянута на $x_3$:

$$x_3=\frac{F}{k}$$

Таким образом, точка приложения силы сместится на  

$$\Delta x=2x_1+2x_2+x_3=\frac{2F}{k}+\frac{4F}{k}+\frac{F}{k}=\frac{7F}{k}$$

Это – ответ на первый вопрос задачи. Эквивалентная жесткость системы будет равна

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x}=\frac{F}{\frac{7F}{k}}=\frac{k}{7}$$

Ответ: $\Delta x=\frac{7F}{k}$, $k_{ekv}=\frac{k}{7}$

 

                                         

 

Нити всюду натянуты одинаково. Поэтому на нижний блок будут действовать две силы $F$, с обеих сторон. Таким образом, на нижнюю правую пружину действует сила $F$, и растянута пружина будет на величину

$$x_3=\frac{F}{k}$$

Это высвободит такой же длины кусочек нижней нитки. На верхнюю пружину действует сила $4F$ и верхняя пружина растянута на

$$x_1=\frac{4F}{k}$$

Это вызовет движение верхнего блока на $x_1$ вниз. И высвободит кусок верхней нити длиной $2x_1$. А также спровоцирует движение нижнего блока на $2x_1$ вниз, что высвободит кусок теперь уже нижней нити длиной $4x_1$.

На левую нижнюю пружину действует сила $2F$, и она растянута на $x_2$:

$$x_2=\frac{2F}{2k}=\frac{F}{k}$$

Растяжению этой пружины последует смещение нижнего блока на $x_2$ вниз, и высвободит еще дополнительно $2x_2$ нижней нитки.

Таким образом, точка приложения силы сместится на  

$$\Delta x=4x_1+2x_2+x_3=\frac{16F}{k}+\frac{2F}{k}+\frac{F}{k}=\frac{19F}{k}$$

Это – ответ на первый вопрос задачи. Эквивалентная жесткость системы будет равна

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x}=\frac{F}{\frac{19F}{k}}=\frac{k}{19}$$

Ответ: $\Delta x=\frac{19F}{k}$, $k_{ekv}=\frac{k}{19}$

Нить – единственная и всюду натянута одинаково. Поэтому на каждый блок будут действовать две силы $F$, с обеих сторон, и на верхние пружинки также на все действует сила $2F$. Таким образом, растянута каждая верхняя пружина будет на величину

$$x_1=\frac{2F}{k}$$

Верхние блоки все опустятся на величину $x_1$, и это высвободит $2n$ кусочков нитки по $x_1$ длиной. Снизу пружинок меньше на 1 – их $(n-1)$ штук. На них, аналогично, на каждую действует сила $2F$, и растянуты они все на ту же самую величину $x_1$. И аналогично, высвобождают $2(n-1)$ кусочков нитки длиной по $x_1$.

Таким образом, точка приложения силы сместится на  

$$\Delta x=2n\cdot x_1+2(n-1)\cdot x_1=\frac{4F}{k}\cdot (2n-1)$$

Это – ответ на первый вопрос задачи. Эквивалентная жесткость системы будет равна

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x}=\frac{F}{\frac{4F}{k}}(2n-1)=\frac{k}{4(2n-1)}$$

Ответ: $\Delta x=\frac{4F}{k}(2n-1)$, $k_{ekv}=\frac{k}{4(2n-1)}$

Длинная нить – всюду натянута одинаково. Поэтому на каждый верхний блок будут действовать две силы $F$, с обеих сторон, и на верхние пружинки также на все действует сила $2F$. Таким образом, растянута каждая верхняя пружина будет на величину

$$x_1=\frac{2F}{k}$$

Верхние блоки все опустятся на величину $x_1$, и это высвободит $2n$ кусочков нитки по $x_1$ длиной. Снизу пружинка одна, и растянута она силой $F$. Ее растяжение

$$x_2=\frac{F}{2k}$$

Таким образом, точка приложения силы сместится на  

$$\Delta x=2n\cdot x_1+ x_2=\frac{4Fn}{k}+\frac{F}{2k}=\frac{F}{k}\left(4n+\frac{1}{2}\right)$$

Это – ответ на первый вопрос задачи. Эквивалентная жесткость системы будет равна

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x}=\frac{F}{\frac{F}{2k}}(8n+1)=\frac{2k}{8n+1}$$

Ответ: $\Delta x=\frac{F}{2k}(8n+1)$, $k_{ekv}=\frac{2k}{8n+1}$

Нить – единственная и всюду натянута одинаково. Поэтому на каждый блок будут действовать две силы $F$, с обеих сторон, и на верхние пружинки также на все действует сила $2F$. Таким образом, растянута каждая верхняя пружина будет на величину

$$x_1=\frac{2F}{k}$$

Верхние блоки все опустятся на величину $x_1$, и это высвободит $2n$ кусочков нитки по $x_1$ длиной. Снизу пружинок столько же – их $n$ штук. Но на $(n-1)$  из них, аналогично, на каждую (кроме самой левой нижней) действует сила $2F$, и растянуты они все на ту же самую величину $x_1$. И аналогично, высвобождают $2(n-1)$ кусочков нитки длиной по $x_1$. Левая же нижняя пружинка растянута силой $F$ на величину $x_2=\frac{F}{k}$, и на такую же величину и сместится точка приложения силы.

Таким образом, точка приложения силы сместится в сумме на  

$$\Delta x=2n\cdot x_1+2(n-1)\cdot x_1+x_2=\frac{8Fn}{k}+\frac{F}{k}-\frac{4F}{k}=\frac{F}{k}(8n-3)$$

Это – ответ на первый вопрос задачи. Эквивалентная жесткость системы будет равна

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x}=\frac{F}{\frac{F}{k}}(8n-3)=\frac{k}{8n-3}$$

Ответ: $\Delta x=\frac{F}{k}(8n-3)$, $k_{ekv}=\frac{k}{8n-3}$

Нить – единственная и всюду натянута одинаково. Поэтому на каждый блок будут действовать две силы $F$, с обеих сторон, и на верхние пружинки также на все действует сила $2F$. Таким образом, растянута каждая верхняя пружина будет на величину

$$x_1=\frac{2F}{k}$$

Верхние блоки все опустятся на величину $x_1$, и это высвободит $2n$ кусочков нитки по $x_1$ длиной. Снизу пружинок столько же – их $n$ штук. Но на $(n-1)$  из них, аналогично, на каждую (кроме самой левой нижней) действует сила $2F$, и растянуты они все на величину $x_2$.

$$x_2=\frac{2F}{2k}=\frac{F}{k}$$

И аналогично, смещение нижних блоков высвобождает $2(n-1)$ кусочков нитки длиной по $x_2$. Левая же нижняя пружинка растянута силой $F$ на величину $x_3=\frac{F}{2k}$, и на такую же величину и сместится точка приложения силы.

Таким образом, точка приложения силы сместится в сумме на  

$$\Delta x=2n\cdot x_1+2(n-1)\cdot x_2+x_3=\frac{4Fn}{k}+\frac{2F(n-1)}{k}+\frac{F}{2k}=\frac{F}{k}(4n+2(n-1)+0,5)= \frac{F}{k}(6n-1,5)$$

Это – ответ на первый вопрос задачи. Эквивалентная жесткость системы будет равна

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x}=\frac{F}{\frac{F}{k}}(6n-1,5)=\frac{k}{6n-1,5}$$

Ответ: $\Delta x=\frac{F}{2k}(12n-3)$, $k_{ekv}=\frac{2k}{12n-3}$