Эквивалентная жесткость систем с рычагами

Задача.

Найдите эффективную жесткость системы. Внешняя сила прикладывается к ней в месте, обозначенном на рисунке стрелкой.

На нить, к которой подвешен блок, действует сила $2F$. Определим, какая сила действует на левую пружину. Для этого составим правило моментов относительно опоры:

$$2F\cdot 3l=F_x\cdot 2l$$

Плечо силы натяжения нити – три отрезка рычага, или $3l$, а плечо силы упругости пружины $F_x$, которую мы ищем - $2l$, или два отрезка. Таким образом,

$$F_x=3F$$

Теперь можно определить, на сколько растянута левая пружина:

$$x_1=\frac{F_x}{k}=\frac{3F}{k}$$

Если левый конец рычага поднимается на $x_1$, то правый опускается на $1,5x_1$ - он же длиннее в 1,5 раза (это следует из подобия).

$$1,5x_1=1,5\cdot  \frac{3F}{k}=\frac{4,5F}{k}$$

За опусканием блока на величину $\frac{9F}{2k}$ последует высвобождение куска нити, накинутой на блок, длиной $\frac{9F}{k}$ - в два раза длиннее.

И не забудем про правую пружину: на нее действует сила $F$, и она растянется на

$$x_2=\frac{F}{k}$$

В итоге точка приложения силы опустится на

$$\Delta x=1,5x_1\cdot 2+x_2=\frac{9F}{k}+\frac{F}{k}=\frac{10F}{k}$$

Откуда эквивалентная жесткость системы

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x }=\frac{k}{10}$$

Ответ: $k_{ekv}=\frac{k}{10}$

На нить, к которой подвешен блок, действует сила $2F$. Определим, какая сила действует на верхнюю пружину. Для этого составим правило моментов относительно опоры:

$$2F\cdot 4l=F_x\cdot 2l$$

Плечо силы натяжения нити – четыре отрезка рычага, или $4l$, а плечо силы упругости пружины $F_x$, которую мы ищем - $2l$, или два отрезка. Таким образом,

$$F_x=4F$$

Теперь можно определить, на сколько растянута левая пружина:

$$x_1=\frac{F_x}{k}=\frac{4F}{k}$$

Если точка прикрепления левой пружины опускается на $x_1$, то точка прикрепления нити блока опускается на $2x_1$ - она же дальше от опоры в 2 раза (это следует из подобия).

$$2x_1=2\cdot  \frac{4F}{k}=\frac{8F}{k}$$

За опусканием блока на величину $\frac{8F}{k}$ последует высвобождение куска нити, накинутой на блок, длиной $\frac{16F}{k}$ - в два раза длиннее.

И не забудем про правую пружину: на нее действует сила $F$, и она растянется на

$$x_2=\frac{F}{k}$$

В итоге точка приложения силы опустится на

$$\Delta x=2x_1\cdot 2+x_2=\frac{16F}{k}+\frac{F}{k}=\frac{17F}{k}$$

Откуда эквивалентная жесткость системы

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x }=\frac{k}{17}$$

Ответ: $k_{ekv}=\frac{k}{17}$

На нить на конце рычага действует сила $F$. Определим, какая сила действует на верхнюю пружину. Для этого составим правило моментов относительно опоры:

$$F\cdot 6l=F_x\cdot 3l$$

Плечо силы натяжения нити – шесть отрезков рычага, или $6l$, а плечо силы упругости пружины $F_x$, которую мы ищем - $3l$, или три отрезка. Таким образом,

$$F_x=2F$$

Теперь можно определить, на сколько растянута пружина:

$$x_1=\frac{F_x}{k}=\frac{2F}{k}$$

Если точка прикрепления пружины опускается на $x_1$, то точка прикрепления нити опускается на $2x_1$ - она же дальше от опоры в 2 раза (это следует из подобия).

$$2x_1=2\cdot  \frac{2F}{k}=\frac{4F}{k}$$

В итоге точка приложения силы опустится на

$$\Delta x=2x_1=\frac{4F}{k}$$

Откуда эквивалентная жесткость системы

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x }=\frac{k}{4}$$

Ответ: $k_{ekv}=\frac{k}{4}$

На нить действует сила $F$. Определим, какая сила действует на пружину. Для этого составим правило моментов относительно опоры:

$$F\cdot 3l=F_x\cdot 5l$$

Плечо силы натяжения нити – три отрезка рычага, или $3l$, а плечо силы упругости пружины $F_x$, которую мы ищем - $5l$, или пять отрезков. Таким образом,

$$F_x=0,6F$$

Теперь можно определить, на сколько растянута пружина:

$$x_1=\frac{F_x}{k}=\frac{0,6F}{k}$$

Если точка прикрепления пружины опускается на $x_1$, то точка прикрепления нити опускается на меньшую величину - она же ближе к опоре (это следует из подобия).

$$x_2=\frac{3}{5}\cdot  x_1=\frac{9F}{25k}$$

В итоге точка приложения силы опустится на

$$\Delta x=x_2=\frac{9F}{25k}$$

Откуда эквивалентная жесткость системы

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x }=\frac{25k}{9}$$

Ответ: $k_{ekv}=\frac{25k}{9}$

На нить действует сила $F$. Определим, какая сила действует на левую пружину. Для этого составим правило моментов относительно опоры:

$$F\cdot 6l=F_{x1}\cdot 2l$$

Плечо силы натяжения нити – шесть отрезков рычага, или $6l$, а плечо силы упругости пружины $F_{x1}$, которую мы ищем - $2l$, или два отрезка. Таким образом,

$$F_{x1}=3F$$

Теперь можно определить, на сколько растянута левая пружина:

$$x_1=\frac{F_{x1}}{k}=\frac{3F}{k}$$

Определим, какая сила действует на правую пружину. Для этого составим правило моментов относительно опоры:

$$F\cdot 6l=F_{x2}\cdot 4l$$

Плечо силы натяжения нити – шесть отрезков рычага, или $6l$, а плечо силы упругости пружины $F_{x2}$, которую мы ищем - $4l$, или четыре отрезка. Таким образом,

$$F_{x2}=1,5F$$

Теперь можно определить, на сколько растянута правая пружина:

$$x_2=\frac{F_{x2}}{2k}=\frac{3F}{4k}$$

Из подобия следует, что точка прикрепления нити опустится на

$$\Delta x=3x_1+1,5x_2=\frac{9F}{k}+\frac{3}{2}\cdot \frac{3F}{4k}=\frac{9F}{k}+\frac{9F}{8k}=\frac{81F}{8k}$$

Откуда эквивалентная жесткость системы

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x }=\frac{8k}{81}$$

Ответ: $k_{ekv}=\frac{8k}{81}$

 

На нить, к которой подвешен блок, действует сила $2F$. Определим, какая сила действует на левую пружину. Для этого составим правило моментов относительно опоры:

$$2F\cdot 5l=F_x\cdot 2l$$

Плечо силы натяжения нити – пять отрезков рычага, или $5l$, а плечо силы упругости пружины $F_x$, которую мы ищем - $2l$, или два отрезка. Таким образом,

$$F_x=5F$$

Теперь можно определить, на сколько растянута левая пружина:

$$x_1=\frac{F_x}{k}=\frac{5F}{k}$$

Если точка прикрепления левой пружины опускается на $x_1$, то точка прикрепления нити блока - на $2,5x_1$ - он же длиннее в 2,5 раза (это следует из подобия).

$$2,5x_1=2,5\cdot  \frac{5F}{k}=\frac{25F}{2k}$$

За опусканием блока на величину $\frac{25F}{2k}$ последует высвобождение куска нити, накинутой на блок, длиной $\frac{50F}{2k}$ - в два раза длиннее.

И не забудем про правую пружину: на нее действует сила $F$, и она растянется на

$$x_2=\frac{F}{2k}$$

В итоге точка приложения силы опустится на

$$\Delta x=2,5x_1\cdot 2+x_2=\frac{50F}{2k}+\frac{F}{2k}=\frac{51F}{2k}$$

Откуда эквивалентная жесткость системы

$$k_{ekv}=\frac{F}{\Delta x }=\frac{2k}{51}$$

Ответ: $k_{ekv}=\frac{2k}{51}$