Две задачи о растяжении пружин в системах грузов

Задача 1. Система из трех грузов массами $m, M$ и $3m$, скрепленная двумя легкими пружинами жесткостью $k=56$ Н/м каждая, подвешивается один раз за груз $m$, а другой – за груз $3m$. В первом случае длина системы оказалась на 14 см больше, чем во втором. Найти значение $m$.

На обе пружинки действует сила тяжести, только на верхнюю – одна, а на нижнюю – другая. Нарисуем:

К задаче 1

Определим растяжения $\Delta x_1$, $\Delta x_2$, $\Delta x_3$, $\Delta x_4$, ведь при подвесе за другую точку эти величины будут разными. В первом случае верхняя пружинка:

$$\Delta x_1=\frac{ F_1}{k}$$

$$F_1=(M+3m)g$$

В первом случае нижняя пружинка:

$$\Delta x_2=\frac{ F_2}{k}$$

$$F_2=3mg$$

Во втором случае верхняя пружинка:

$$\Delta x_3=\frac{ F_3}{k}$$

$$F_3=(M+m)g$$

Во втором случае нижняя пружинка:

$$\Delta x_4=\frac{ F_4}{k}$$

$$F_4=mg$$

По условию, длина системы больше в первом случае, то есть

$$\Delta x_1+\Delta x_2-0,14=\Delta x_3+\Delta x_4$$

Подставляем и решаем:

$$\frac{ (M+3m)g }{k}+\frac{ 3mg}{k}-0,14=\frac{ (M+m)g }{k}+\frac{ mg}{k}$$

$$\frac{ Mg+6mg }{k}-0,14=\frac{ Mg+2mg }{k}$$

$$\frac{ 4mg }{k}=0,14$$

Откуда

$$m=\frac{0,14k}{4g}=\frac{0,14\cdot56}{40}=0,196$$

Ответ: $m=0,196$ кг или 196 г.

Задача 2.

Система из трех грузов, расположенных вдоль одной прямой и скрепленных двумя одинаковыми легкими пружинами жесткостью 14 Н/м каждая, покоится на горизонтальной поверхности. Систему кладут на гладкую наклонную плоскость с углом наклона $\alpha=30^{\circ}$, и удерживают в покое за груз $M$. Длина всей системы увеличилась на 7 см. Найти значение $m$.

На грузы действует только сила тяжести, так как по условию поверхность плоскости гладкая.  Сначала  пружины не растянуты – когда система лежит горизонтально. Потом, когда мы положим систему на наклонную плоскость, на пружинку 1 будут действовать грузы $2m$ и $3m$, а на пружинку 2 – только $3m$. Нарисуем чертеж:

К задаче 2

Введем систему координат так, чтобы ось $y$ была перпендикулярна к плоскости, а ось $x$ - совпадала бы с ней. Тогда на первую пружину действует сила

$$F_1=5m g \sin{\alpha}$$

А на вторую

$$F_2=3 m g \sin{\alpha}$$

Тогда растяжение первой пружины

$$\Delta x_1=\frac{ F_1}{k}$$

А второй

$$\Delta x_2=\frac{ F_2}{k}$$

По условию, длина системы увеличилась на 7 см, то есть

$$\Delta l=\Delta x_1+\Delta x_2=\frac{ F_1}{k}+\frac{ F_2}{k}=\frac{ 5m g \sin{\alpha}}{k}+\frac{ 3m g \sin{\alpha}}{k}=\frac{8m g \sin{\alpha}}{k}$$

Откуда

$$m=\frac{\Delta l  k}{8 g \sin{\alpha}}=\frac{0,07\cdot 14}{8\cdot10\cdot\frac{1}{2}}=0,0245$$

Ответ: $m=0,0245$ кг, или 24,5 г

Кстати, легко определить, на какую величину растянется каждая из пружин:

Первая:

$$\Delta x_1=\frac{ 5m g \sin{\alpha}}{k}=\frac{ 5\cdot0,0245\cdot10\cdot0,5}{14}=0,04375$$

Вторая:

$$\Delta x_2=\frac{ 3m g \sin{\alpha}}{k}=\frac{ 3\cdot0,0245\cdot10\cdot0,5}{14}=0,02625$$

В сумме эти две величины как раз дают 7 см.