Задачник Добродеева, динамика движения по кругу - 4

Задача 4.14.

Найти массу Солнца $M$, зная постоянную тяготения $G$, период обращения $T$ Земли вокруг Солнца и расстояние $L = 1,5·10^{11}$ м от Земли до Солнца.

Решение. Для Земли

$$ma_n=F_t$$

$$m\omega^2 L=\frac{GmM}{L^2}$$

$$M=\frac{\omega^2 L^2}{G}=\frac{4\pi^2 L^2}{T^2 G}=2\cdot 10^{30}$$

Ответ: $M=2\cdot 10^{30}$

Задача 4.15.

Двойная звезда вращается вокруг общего центра масс с периодом $T = 10$ земных суток. Массы отдельных звезд $M_1 = 10^{32}$ кг и $М_2 = 3·10^{32}$ кг. Найти расстояние $R$ между звездами.

Решение. Общий вид уравнения будет таким:

$$ma_n=F_t$$

Для первой звезды

$$M_1a_{n1}=\frac{GM_1M_2}{R^2}$$

$$\omega^2 R_1=\frac{GM_2}{R^2}$$

Для второй, аналогично,

$$\omega^2 R_2=\frac{GM_1}{R^2}$$

Складываем эти последние уравнения:

$$\omega^2(R_1+R_2)=\frac{G(M_1+M_2)}{R^2}$$

Но $R_1+R_2=R$$

То есть

$$\omega^2=\frac{G(M_1+M_2)}{R^3}$$

Откуда

$$R=\sqrt[3]{ \frac{G(M_1+M_2)}{ \omega^2}}=\sqrt[3]{ \frac{G(M_1+M_2)T^2}{ 4\pi^2}}=7,96\cdot 10^{10}$$

Ответ: $R=8\cdot 10^{10}$ м.

Задача 4.16.

Вычислить плотность $\rho$ шарообразной планеты, если спутник движется вокруг нее по круговой орбите с периодом $T = 4$ ч на расстоянии от поверхности планеты, составляющем $n =\frac{1}{2}$ часть ее радиуса.

Решение. Аналогично, пишем второй закон:

$$ma_n=\frac{GMm}{R_0^2}$$

Или

$$\omega^2 R_0=\frac{GM}{R_0^2}=\frac{G\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{ R_0^2}$$

Тогда

$$\omega^2=\frac{4}{3}\pi \rho G \left(\frac{R}{R_0}\right)^3$$

Здесь везде $R_0=1,5R$.

$$\frac{4\pi^2}{T^2}=\frac{4}{3}\pi \rho G \left(\frac{R}{R_0}\right)^3$$

Или, сокращая, имеем

$$\frac{\pi}{T^2}=\frac{G\rho}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^3$$

Определим плотность:

$$\rho=\frac{\pi}{T^2G}\cdot \frac{3^4}{2^3}=2,3\cdot 10^3$$

Ответ: $\rho=2,3\cdot 10^3$ кг/м$^3$.

Задача 4.17.

На какую высоту $Н$ (отсчитывается от центра Земли) надо запустить спутник в экваториальной плоскости, чтобы он все время находился над одной и той же точкой земной поверхности?

Решение. Над одной и той же точкой – значит, его скорость равна скорости вращения Земли, период равен периоду Земли. Начнем со второго закона Ньютона:

$$ma_n=\frac{GMm}{R_0^2}$$

Или

$$\omega^2 R^3=GM$$

Тогда

$$R^3=\frac{GM}{\omega^2}=\frac{GMT^2}{4\pi^2}$$

Так как $ g_z=\frac{GM_z}{R_z^2}$, то

$$R^3=\frac{g_zR_z^2 T^2}{4\pi^2}$$

$$R=\sqrt[3]{ \frac{g_zR_z^2 T^2}{4\pi^2}}=42626$$

Ответ: $4,3\cdot 10^4$ км.

Задача 4.18.

Какова первая космическая скорость $\upsilon_{\RomanNumeralCaps 1}$ для планеты с такой же плотностью, как у Земли, но радиус которой в $n = 2$ раза меньше, чем у Земли?

Решение.

$$\upsilon_{I}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$$

Радиус у планеты вдвое меньше, значит, объем – в 8 раз меньше, и масса тогда в 8 раз (так как плотность та же), следовательно,

$$\upsilon_{I}=\sqrt{\frac{G\frac {M }{8} }{\frac{R}{2}}}$$

$$\upsilon_{I}=\frac{\upsilon_{Iz}}{2}=4000$$

Ответ: 4 км/c