Задачник Добродеева, динамика движения по кругу - 3

Задача 4.9.

На легком горизонтальном стержне, вращающемся в горизонтальной плоскости, насажены два шара массами $m_1 = 1$ кг и $m_2 = 2$ кг на расстоянии $L_1 = 20$ см и $L_2 = 30$ см от оси вращения. Определить силы натяжения стержня. Стержень делает $n = 4$ об/с. Ось вращения проходит через конец стержня.

Решение. Если частота вращения 4 об/с, то $\omega=2\pi n=8\pi$ рад/с. Тогда для шара на краю стержня

$$T_2=m_2a_n=m_2\omega^2 L_2=2\cdot (8\pi)^2\cdot 0,3=379$$

А для шара посерединке

$$m_1a_n=T_1-T_2$$

$$T_1= m_1\omega^2 L_1+T_2=(8\pi)^2\cdot 0,2+379=505,3$$

Ответ: для первого шара $T_1=505$ Н, для второго $T_2=379$ Н.

Задача 4.10.

На какую величину $\Delta g$ уменьшится ускорение силы тяжести на высоте $h = 20$ км над поверхностью Земли, если ускорение на поверхности $g_0 = 9,81$ м/с, а радиус Земли $R =6400$ км.

Решение. Формула для вычисления силы тяготения на поверхности планеты

$$F=\frac{GMm}{R^2}=g_0m$$

То есть

$$g_0=\frac{GM}{R^2}$$

Тогда на высоте

$$g=\frac{GM}{(R+20)^2}=\frac{g_0R^2}{(R+20)^2}=\frac{9,81\cdot 6400^2}{6420^2}=9,75$$

$$g_0-g=0,06$$

Ответ: ускорение отличается на 0,06 м/c$^2$.

Задача 4.11.

Определите, каково относительное изменение веса тела при переносе его с экватора Земли на полюс.

Решение. Пусть на экваторе вес численно равен $N_1$:

$$ma_n=mg-N_1$$

$$N_1=mg-ma_n$$

На полюсе же

$$N_2=mg$$

Определяем относительное изменение:

$$\frac{N_1}{N_2}=\frac{ mg-ma_n }{mg}=1-\frac{a_n}{g}$$

Относительное изменение – это дробь

$$\frac{a_n}{g}=\frac{\omega^2 R}{g}=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\cdot\frac{R}{g}=0,0034$$

Ответ: 0,34%

Задача 4.12.

Какой продолжительности $Т$ должны быть сутки на Земле, чтобы тела на экваторе не имели веса?

Решение. Воспользовавшись уравнением из предыдущей задачи, запишем:

$$ma_n=mg-N_1$$

$$N_1=mg-ma_n$$

Если $N_1=0$, то

$$g=a_n$$

$$\omega^2 R=g$$

$$\omega^2=\frac{g}{R}$$

$$\omega=\sqrt{\frac{g}{R}}$$

$$T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}=5026,5$$

В часах эта величина примерно равна 1,4 ч.

Ответ: 1,4 часа.

Задача 4.13.

Во сколько раз п период обращения спутника, движущегося на расстоянии $r = 21600$ км от поверхности Земли, больше периода обращения спутника, движущегося на высоте $h =600$ км от поверхности?

Решение. С учетом радиуса Земли  - радиусы орбит отличаются в 4 раза: у первого $21600+6400=28000$ км, у второго – 7000 км. Значит, скорости  спутников отличаются в 2 раза – у второго скорость больше. При этом длина орбиты первого в 4 раза больше длины орбиты второго. Таким образом, у первого орбита длиннее, а скорость – меньше, значит, периоды будут отличаться в 8 раз.

Ответ: в 8 раз.