Задачник Добродеева, динамика движения по кругу - 1

Задача 4.1

Тело массы $m$ находится на горизонтальном диске на расстоянии $r$ от оси вращения. Построить график зависимости силы трения $F_{tr}$, действующей на это тело, от угловой скорости $\omega$ вращения диска. Коэффициент трения $\mu$.

Решение. По второму закону Ньютона

$$ma_n=F_{tr}=\mu m g$$

$$\omega^2 R=\mu g$$

$$\omega=\sqrt{\frac{\mu g}{R}}$$

Ответ: $\omega=\sqrt{\frac{\mu g}{R}}$.

Задача 4.2.

Автомобиль массой $М = 3$ т движется с постоянной скоростью $\upsilon = 36$ км/ч по мосту радиусом кривизны $R = 60$ м. С какой силой $F$ давит автомобиль на мост в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол $\alpha = 10^{\circ}$ с вертикалью, если: а) мост выпуклый; б) мост вогнутый?

Решение. При выпуклом мосте:

$$ma_n=mg\cos \alpha-N_1$$

$$N_1=mg\cos \alpha-\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$$N_1=24544$$

При вогнутом мосте:

$$ma_n=N_2-mg\cos \alpha$$

$$N_2=\frac{m\upsilon^2}{2}+mg\cos \alpha=34544$$

Ответ: при выпуклом мосте $N_1=24544$ Н, при вогнутом мосте $N_2=34544$ Н.

Задача 4.3.

Через реку шириной $l = 100$ м переброшен выпуклый мост, имеющий форму дуги окружности. Высшая точка моста поднимается над берегом на $Н = 10$ м. Максимально возможная нагрузка на мост в верхней точке $F = 4,5$ кH. При каких скоростях $\upsilon$ автомобиль массой $m = 500$ кг может переехать через мост, не разрушив его?

Решение.

Рисунок к задаче 3

По рисунку

$$R^2-(R-10)^2=H^2$$

$$R^2-R^2+20R-100=2500$$

$$R=130$$

Теперь по второму закону Ньютона составим уравнение:

$$ma_n=mg-N$$

$$N=mg-\frac{m\upsilon^2}{R}$$

$$4500=5000-\frac{500\upsilon^2}{130}$$

$$\upsilon^2=130$$

$$\upsilon=11,4$$

Ответ: $\upsilon=11,4$ м/с.

Задача 4.4.

Чему равен минимальный радиус дуги $R$ ,по которой может поворачивать мотоциклист, если его скорость $\upsilon = 21$ м/с, а коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой $\mu = 0,3$?

Решение. По второму закону Ньютона:

$$ma_n=F_{tr}$$

$$\mu mg=\frac{m\upsilon^2}{R}$$

$$R=\frac{\upsilon^2}{\mu g}=\frac{441}{0,3\cdot 10}=147$$

Ответ: 147 м/с