Ускоряем наполненные чаши

Задача 1.

Сосуд в форме куба, наполненный жидкостью, движется в горизонтальном направлении с ускорением $a$. Объем жидкости в сосуде равен половине объема куба, ее масса $m$ Определите силы давления жидкости $F_1$ и $F_2$ соответственно на переднюю и заднюю стенки сосуда.

Поверхность воды наклонится под углом $\alpha$к горизонту,

$$\operatorname{tg}\alpha =\frac{a}{g}$$

$$a=g_{ef}\sin \alpha$$

$$g= g_{ef}\cos \alpha$$

Пусть ребро куба $b$

$$b_1=\frac{b}{2}-\frac{b}{2}\cdot \operatorname{tg}\alpha=\frac{b}{2}\left(1-\frac{a}{g}\right)$$

$$b_2=\frac{b}{2}+\frac{b}{2}\cdot \operatorname{tg}\alpha=\frac{b}{2}\left(1+\frac{a}{g}\right)$$

$$h_1=b_1\cos \alpha=\frac{b}{2}\cos \alpha\left(1-\frac{a}{g}\right)$$

$$h_2= b_2\cos \alpha=\frac{b}{2}\cos \alpha\left(1+\frac{a}{g}\right)$$

Сила давления на переднюю стенку куба:

$$F_1=p_{sr1}S_1=\rho g_{ef}\cdot \frac{h_1}{2}bb_1=\rho\cdot \frac{b^3}{2}\cdot \frac{1}{4} g_{ef}\cos \alpha \left(1-\frac{a}{g}\right)^2$$

$$F_1=\frac{mg}{4}\left(1-\frac{a}{g}\right)^2$$

На заднюю стенку:

$$F_2=p_{sr2}S_2=\rho g_{ef}\cdot \frac{h_2}{2}bb_2=\rho\cdot \frac{b^3}{2}\cdot \frac{1}{4} g_{ef}\cos \alpha \left(1+\frac{a}{g}\right)^2$$

$$F_2=\frac{mg}{4}\left(1+\frac{a}{g}\right)^2$$

Ответ: $F_1=\frac{mg}{4}\left(1-\frac{a}{g}\right)^2$, $F_2=\frac{mg}{4}\left(1+\frac{a}{g}\right)^2$.

Задача 2.

Резервуар с машинным маслом, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда длиной 63 см, заполнен до уровня 10 см. Его закрепили в кузове грузовика, длинной стороной по ходу движения, на горизонтальной поверхности). Грузовик двигался с постоянной скоростью, затем начал плавно тормозить. В процессе движения его ускорение сначала медленно увеличивалось, затем уменьшалось. Колебания поверхности жидкости были малы, и в момент, когда грузовик достиг максимального ускорения, уровень масла с одной стороны достиг 18 см. Найти величину ускорения грузовика и максимальное давление в масле в момент достижения максимального ускорения по сравнению с максимальным давлением в покоящемся резервуаре.

Решение. Объем жидкости $630x$, тогда на правом рисунке не треугольник, а трапеция, площадь которой должна быть равна 630.

$$S=\frac{a+b}{2}h=\frac{18+b}{2}\cdot 63=630$$

Откуда $b=2$ (меньшее основание трапеции, справа).

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{16}{63}=\frac{a}{g}$$

$$a=2,54$$

Максимальным будет давление на максимальной глубине, отсчитываемой от уровня жидкости AD перпендикулярно к нему. То есть надо определить $h$Рассмотрим подобные треугольники ABC и DFC.

$$\frac{18}{2}=\frac{63+y}{y}$$

$$y=7,875$$

$$2S=AB\cdot BC=AC\cdot h$$

$$h=\frac{ AB\cdot BC }{ AC }=\frac{18(63+7,875)}{73,175}=17,446$$

Эффективное ускорение

$$g_{ef}=\sqrt{g^2+a^2}=\sqrt{100+6,45}=10,32$$

Тогда

$$\frac{p_{max}}{p}=\frac{\rho g_{ef} h}{\rho g\cdot 0,1}=\frac{10,32\cdot 0,174}{10\cdot 0,1}=1,795$$

Ответ: $\frac{p_{max}}{p}=1,8$, $a=2,54$ м/с$^2$.