Сила тяготения: простые задачи

В этой статье рассмотрены самые простые задачи на тему "Сила тяготения". Мы научимся определять ускорение свободного падения на поверхности планеты и на некоторой высоте, рассчитывать первую космическую скорость, и вспомним закон сохранения импульса.

Задача 1.

Определить ускорение свободного падения на поверхности Марса, если отношение масс Марса и Земли равно 0,107, а отношение радиусов Марса и Земли равно 0,53.

Ускорение свободного падения определяется формулой

$$g=G\cdot \frac{M}{R^2}$$

Где $M$ - масса планеты, а $R$ - ее радиус. Тогда для земли можем записать:

$$g_Z=G\cdot \frac{M_Z}{R_Z^2}~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

А для Марса тогда

$$g_M=G\cdot \frac{M_M}{R_M^2}~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Разделим (2) на (1):

$$\frac{ g_M }{ g_Z }=\frac{ M_M }{ R_M^2}\cdot \frac{ R_Z^2}{ M_Z }$$

Или

$$\frac{ g_M }{ g_Z }=\frac{ M_M }{ M_Z }\cdot \frac{ R_Z^2}{ R_M^2 }$$

$$\frac{ g_M }{ g_Z }=\frac{ M_M }{ M_Z }\cdot \left(\frac{ R_Z}{ R_M }\right)^2$$

$$g_M= g_Z \frac{ M_M }{ M_Z }\cdot \left(\frac{ R_Z}{ R_M }\right)^2$$

Подставляем известные величины:

$$g_M  =\frac{0,107\cdot 9,8 }{\left(0,53\right)^2}=3,7$$

Ответ: 3,7 м/с$^2$.

Задача 2.

На какой высоте $h$ ускорение свободного падения будет в $n=9$ раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли?

Ускорение свободного падения у поверхности определяется формулой

$$g=G\cdot \frac{M}{R^2}~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

Тогда на некоторой высоте мы можем его записать как

$$g_h=G\cdot \frac{M}{(R+h)^2}~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$$

Так как по условию $\frac{g}{g_h}=n$, то разделим  (3) на (4):

$$\frac{g}{g_h}=n=\frac{(R+h)^2}{R^2}$$

Извлечем корень из правой и левой частей:

$$\sqrt{ n}=\frac{(R+h)}{R}$$

$$R+h=\sqrt{ n}R$$

$$h=\sqrt{ n}R-R=R(\sqrt{ n}-1)=2R$$

Ответ: на высоте, равной двум земным радиусам.

Задача 3.

На каком расстоянии от центра земли тело в первую секунду свободного падения проходит расстояние $s=0,55$ м?

Из формулы пути при свободном падении тела находим, что

$$S=\frac{g_h t^2}{2}$$

$$g_h=\frac{2S}{t^2}$$

С другой стороны, так как $h$ в данном случае – расстояние от центра земли, то

$$g_h=G\cdot \frac{M}{h^2}$$

Тогда

$$\frac{2S}{t^2}= G\cdot \frac{M}{h^2}$$

$$h^2= G\cdot \frac{M t^2}{2S}$$

$$h=t\sqrt{ G\cdot \frac{M}{2S}}$$

Подставим числовые данные:

$$h=1\sqrt{ 6,67\cdot10^{-11} \frac{5,976 \cdot10^{24}}{2\cdot 0,55}}=\sqrt{ \frac{398,6 \cdot10^{12}}{1,1}}=1,9\cdot 10^7$$

Ответ: $1,9\cdot 10^7$ м

Задача 4.

Космонавт массой $M=100$ кг находится на поверхности шаровидного астероида радиусом $R=1$ км и держит в руках камень массой $m=10$ кг. С какой максимальной скоростью $\upsilon$ относительно поверхности астероида космонавт может бросить камень, не рискуя превратиться в спутник астероида? Средняя плотность астероида $\rho=5\cdot10^3$ кг/м$^3$.

По закону сохранения импульса, если вы сообщаете камню скорость, то камень сообщает скорость вам также. Поскольку речь о ма-аленьком астероиде, то и первая космическая скорость у него небольшая. Определим, какая. Для этого определим ускорение свободного падения на астероиде массой $M_p$:

$$ g=G\cdot \frac{M_p}{R^2}= G\cdot \frac{\rho V}{R^2}= G\cdot \frac{4\rho \pi R^3 }{3R^2}=\frac{4}{3}\pi GR \rho $$

Тогда первая космическая скорость равна

$$\upsilon_1=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{4}{3}\pi GR^2 \rho }$$

По закону сохранения импульса имеем:

$$M \upsilon_1=m \upsilon$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{ M \upsilon_1}{m}=\frac{M}{m}\sqrt{\frac{4}{3}\pi GR^2 \rho }=\frac{2MR}{m}\sqrt{\frac{\pi  G\rho}{3} }$$

$$\upsilon=\frac{2 \cdot 100\cdot 1000}{10}\sqrt{\frac{3,14 \cdot 6,67\cdot10^{-11}\cdot 5\cdot10^3}{3}}=11,8$$

Ответ: 12 м/c