Подготовка в СУНЦ МГУ: гравитация, экзамен в 10 класс

Задачи для подготовки к поступлению в СУНЦ МГУ – несложные, но интересные. Под каждой я указала, на каком экзамене и в каком году она присутствовала на вступительных экзаменах.

Задача 1.

  Найдите, чему равна первая космическая скорость для Марса, если масса Марса в 10 раз меньше массы Земли, а радиус Марса примерно в 2 раза меньше радиуса Земли.  Первая космическая скорость для Земли равна примерно 7,8 км/с. (2014 г, вариант 1, №2)

Первая космическая скорость равна $\upsilon_1=\sqrt{gR}$.  Для Марса

$$\upsilon_{1M}^2=g_MR_M$$

Запишем уравнение ускорения свободного падения:

$$g_M=G\frac{M_M}{R_M^2}$$

Тогда

$$\upsilon_{1M}^2= G\frac{M_M}{R_M}$$

Так как $M_M=\frac{M_Z}{10}$, а $R_M=\frac{R_Z}{2}$, то

$$\upsilon_{1M}^2= G\frac{2M_Z}{10R_Z}= G\frac{M_Z}{5R_Z}=\frac{\upsilon_{1Z}^2}{5}$$

$$\upsilon_{1M}=\frac{\upsilon_{1Z}}{\sqrt{5}}$$

$$\upsilon_{1M}=\frac{7800}{\sqrt{5}}=3488$$

Ответ: 3,5 км/с

Задача 2.

Найдите, во сколько раз период обращения спутника, движущегося по круговой орбите на расстоянии $H_1=25600$ км от поверхности Земли, больше периода обращения спутника, движущегося на расстоянии $H_2=1600$ км от ее поверхности? Радиус Земли 6400 км. (2014 г, вариант 3, №2)

Запишем условие, при котором спутник может удержаться на орбите: равенство  центростремительной силы и силы притяжения.

$$F_n=F_t$$

$$\frac{m\upsilon_1^2}{R+H_1}=G\frac{Mm}{ (R+H_1)^2}$$

Откуда

$$\upsilon_1^2=G\frac{M}{ R+H_1}$$

$$\upsilon_1=\sqrt{G\frac{M}{ R+H_1}}$$

Тогда период обращения этого спутника равен

$$T_1=\frac{l}{\upsilon_1}=\frac{2 \pi (R+H_1)}{ \upsilon_1}=\frac{2 \pi (R+H_1)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{GM}}$$

Тогда для второго спутника все аналогично:

$$T_2=\frac{2 \pi (R+H_2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{GM}}$$

Найдем отношение периодов:

$$\frac{T_1}{T_2}=\left(\frac{R+H_1}{R+H_2}\right)^{\frac{3}{2}}$$

$$\frac{T_1}{T_2}=\left(\frac{6400+25600}{6400+1600}\right)^{\frac{3}{2}}=8$$

Ответ: 8

Задача 3.

Сила притяжения Земли к Солнцу в 2,9 раз больше, чем сила притяжения Меркурия к Солнцу. Найдите, во сколько раз масса Земли больше массы Меркурия, если радиус орбиты Земли в 2,5 раза больше радиуса орбиты Меркурия. (2014 г, вариант 4, №2)

Запишем выражения для сил притяжения. Для Меркурия и Солнца:

$$F_{MS}=G\frac{m_MM_S}{R_M^2}$$

Для Земли и Солнца:

$$F_{ZS}=G\frac{m_ZM_S}{R_Z^2}$$

По условию $2,9F_{MS}= F_{ZS}$.

$$2,9 G\frac{m_MM_S}{R_M^2}= G\frac{m_ZM_S}{R_Z^2}$$

$$2,9 \frac{m_M}{R_M^2}= \frac{m_Z}{R_Z^2}$$

Откуда

$$\frac{m_Z}{ m_M }=2,9 \frac{ R_Z^2}{R_M^2}=2,9\cdot2,5^2=18,125$$

Ответ: $\frac{m_Z}{ m_M }=18,1$.

Задача 4.

Две планеты вращаются вокруг массивной звезды по круговым орбитам. Найдите отношение $\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}$ линейных скоростей планет, если отношение радиусов орбит $\frac{R_1}{R_2}=n$. (2015 г, вариант 1, №2)

Запишем условие, при котором планета может удержаться на орбите: равенство  центростремительной силы и силы притяжения.

$$F_n=F_t$$

$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{R_1}=G\frac{Mm_1}{ (R_1)^2}$$

Откуда

$$\upsilon_1^2=G\frac{M}{ R_1}$$

Для второй планеты, аналогично,

$$\upsilon_2^2=G\frac{M}{ R_2}$$

Отношение квадратов скоростей:

$$\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}=\frac{R_2}{R_1}$$

Тогда

$$\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}=\sqrt{\frac{1}{n}}$$

Ответ: $\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{1}{n}}$.