Трение: воздействуем с силой, направленной под углом

В этой статье силу, с которой воздействуют на тело, раскладывают на проекции по координатным осям. Выбирать направления осей удобно так, чтобы раскладывать приходилось одну-две силы, то есть чтобы большинство векторов сил были бы коллинеарны осям.

Задача 1.

Коэффициент трения скольжения ящика массой 100 кг о пол равен 0,2.  Ящик тянут за веревку, проходящую через его центр тяжести. Веревка образует угол $30^{\circ}$ с горизонтом. Какую силу надо прикладывать, чтобы ящик двигался равномерно? Какова при этом сила трения скольжения?

Введем систему координат: ось $x$ направим горизонтально, а ось $y$ - вертикально вверх. Запишем уравнения по осям по второму закону:

По оси $x$:

$$F\cos{\alpha}-F_{tr}=0$$

По оси $y$:

$$F\sin{\alpha}+N-mg=0$$

Из второго уравнения найдем силу реакции опоры:

$$N=mg- F\sin{\alpha}$$

Сила трения равна

$$ F_{tr}= \mu N=\mu (mg- F\sin{\alpha})$$

С другой стороны,

$$ F_{tr} = F\cos{\alpha}$$

Приравняв, можем найти силу $F$:

$$ F\cos{\alpha}=\mu (mg- F\sin{\alpha})$$

$$ F\cos{\alpha}=\mu mg- \mu F\sin{\alpha}$$

$$ F\cos{\alpha}+ \mu F\sin{\alpha}=\mu mg$$

$$F(\cos{\alpha}+ \mu\sin{\alpha})=\mu mg$$

$$F=\frac{\mu mg }{\cos{\alpha}+ \mu\sin{\alpha}}=\frac{0,2\cdot 100\cdot 9,8}{\frac{\sqrt{3}}{2}+ 0,2\cdot\frac{1}{2}}}=\frac{196}{0,965}=203$$

Определим силу трения:

$$ F_{tr} = F\cos{\alpha}=203 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=175,6$$

Ответ: $F=203$ Н, $ F_{tr} =175,6$ Н.

Задача 2.

Тело массой 10 кг тянут по горизонтальной поверхности, прикладывая силу 50 Н, направленную под углом $30^{\circ}$ к горизонту. Ускорение тела равно 3,5 м/с$^2$. Найдите коэффициент трения между телом и поверхностью.

Введем систему координат: ось $x$ направим горизонтально, а ось $y$ - вертикально вверх. Запишем уравнения по осям по второму закону:

По оси $x$:

$$F\cos{\alpha}-F_{tr}=ma$$

По оси $y$:

$$F\sin{\alpha}+N-mg=0$$

Из второго уравнения найдем силу реакции опоры:

$$N=mg- F\sin{\alpha}$$

Сила трения равна

$$ F_{tr}= \mu N=\mu (mg- F\sin{\alpha})$$

С другой стороны,

$$ F_{tr} = F\cos{\alpha}-ma$$

Приравняв, можем найти силу коэффициент трения:

$$F\cos{\alpha}-ma=\mu (mg- F\sin{\alpha})$$

$$\mu=\frac{ F\cos{\alpha}-ma }{ mg- F\sin{\alpha}}=\frac{50 \cdot\sqrt{3}}{2}-10\cdot 3,5}{10\cdot 9,8-50\cdot\frac{1}{2}}=0,11$$

Ответ: $\mu=0,11$.

Задача 3.

Тело массой $M$ прижимают к потолку с силой $F$, направленной под углом $\alpha$ к горизонту.  При этом тело неподвижно. Чему равен коэффициент трения между телом и потолком?

Введем систему координат: ось $x$ направим горизонтально, а ось $y$ - вертикально вверх. Запишем уравнения по осям по второму закону:

По оси $x$:

$$F\cos{\alpha}-F_{tr}=0$$

По оси $y$:

$$F\sin{\alpha}- mg -N=0$$

Вспомним, что $ F_{tr}=\mu N$. Силу реакции найдем из второго уравнения:

$$ N= F\sin{\alpha}- mg$$

$$ F_{tr}=\mu (F\sin{\alpha}- mg)$$

С другой стороны,

$$ F_{tr} = F\cos{\alpha}$$

Приравняв, можем найти силу коэффициент трения:

$$ F\cos{\alpha}=\mu (F\sin{\alpha}- mg)$$

$$\mu=\frac{ F\cos{\alpha} }{  F\sin{\alpha- mg }}$$

Ответ: $\mu=\frac{ F\cos{\alpha} }{  F\sin{\alpha- mg }}$