Трение: снова решаем задачи

Продолжаю  блок статей, связанных с определением силы трения в разных ситуациях. Нужно четко себе представить, что, пока тело неподвижно, сила трения равна той силе, с которой воздействуют на тело, и только после того, как  тело сдвинется с места, сила трения больше не изменяется. Также помним обязательно тот факт, что произведение коэффициента трения на силу реакции опоры - это сила трения скольжения, и работает эта формула только когда тело уже движется.

Задача 1.

Паук массой $m=0,1$ г спускается по нити паутины, прикрепленной к потолку лифта. Лифт начинает подниматься с ускорением $a_0=3$ м/с$^2$.  С каким ускорением $a$ относительно лифта опускается паук, если натяжение нити $T=5 \cdot 10^{-4}$ Н?

К задаче 1

Запишем уравнение по второму закону (ось направим вертикально вверх):

$$T+m(a-a_0)=mg$$

$$m(a-a_0)=mg-T$$

$$a-a_0=g-\frac{T}{m}$$

$$a=g+a_0-\frac{T}{m}=10+3-\frac{5 \cdot 10^4}{10^{-4}}=8$$

Ответ: 8 м/с$^2$

Задача 2.

Определить, при каком ускорении стенки брусок будет находиться в покое относительно нее. Коэффициент трения между стенкой и бруском $\mu$.

К задаче 2

По вертикальной оси запишем:

$$ F_{tr}=mg$$

По горизонтальной оси

$$N=ma$$

Дополним систему уравнением для силы трения:

$$ F_{tr}=\mu N=\mu m a$$

Тогда

$$mg=\mu m a$$

Откуда

$$a=\frac{g}{\mu}$$

Ответ: $a=\frac{g}{\mu}$

Задача 3.

Тело массой $m=0,4$ кг бросают вертикально вверх с начальной скоростью $\upsilon=30$ м/с.  Через время $t=2,5$ c тело достигает высшей точки подъема. Определить среднее значение силы сопротивления воздуха, считая движение равнозамедленным.

Сила сопротивления воздуха – та же сила трения. Так как тело летит вверх, то направлена эта сила против движения, то есть вертикально вниз. Раз эта сила складывается с действующей на тело силой тяжести, то можно записать уравнение:

$$\upsilon_0-(g+a)t=0$$

$$g+a=\frac{\upsilon_0}{t}$$

$$a=\frac{\upsilon_0}{t}-g$$

Тогда сила сопротивления может быть найдена как

$$F=ma=\frac{m\upsilon_0}{t}-mg=\frac{12}{2,5}-4=0,8$$

Ответ: $F=0,8$ Н.

Задача 4.

У бруска одна сторона гладкая, а другая – шероховатая. Если его положить на наклонную плоскость шероховатой стороной, он будет лежать на грани соскальзывания. С каким ускорением брусок будет соскальзывать, если его перевернуть? Коэффициент трения между шероховатой стороной бруска и наклонной плоскостью $\mu=0,2$.

К задаче 4

Из условия неподвижности бруска давайте определим угол наклона плоскости к горизонту. Оси направим так: ось $x$ - вдоль наклонной плоскости вниз, ось $y$ - перпендикулярно поверхности плоскости вверх. Тогда по оси $y$:

$$N=mg \cos {\alpha}$$

Определяем силу трения:

$$F_{tr}=\mu m g \cos {\alpha}$$

По оси $x$:

$$mg \sin{\alpha}=F_{tr}$$

$$mg \sin{\alpha}=\mu m g \cos {\alpha}$$

$$ \mu=  \operatorname{tg} {\alpha}$$

$$\alpha=\operatorname{arctg} {\mu}$$

Теперь перевернем брусок на гладкую сторону. Теперь трение можно не учитывать, поэтому уравнение будет записано так:

$$ma=mg\sin{\alpha}$$

$$a=g\sin{\alpha}=g \sin{\operatorname{arctg} {\mu}}$$

Можно так посчитать, а можно «причесать» выражение:

$$ \sin{\alpha}=\mu  \cos {\alpha}$$

$$ \sin^2{\alpha}=\mu^2  \cos^2 {\alpha}$$

$$ \sin^2{\alpha}=\mu^2  (1-\sin^2{\alpha})$$

$$ \sin^2{\alpha}+\mu^2 \sin^2{\alpha}=\mu^2 $$

$$ \sin^2{\alpha}(1+\mu^2)=\mu^2 $$

$$ \sin^2{\alpha}=\frac{\mu^2}{ 1+\mu^2}$$

$$ \sin{\alpha}=\sqrt{\frac{\mu^2}{ 1+\mu^2}}$$

$$a=g\sqrt{\frac{\mu^2}{ 1+\mu^2}}$$

Подставим численные данные:

$$a=10\sqrt{\frac{0,2^2}{ 1+0,2^2}}=1,96$$

Ответ: $a=1,96$ м/с$^2$.