Трение и сопротивление в разных задачах динамики

Задача 1.  

Тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha = 15^{\circ}$ с горизонтом. Найти коэффициент трения $\mu$, если время подъема тела оказалось в $n= 2$ раза меньше времени спуска.

Решение. При подъеме ускорение направлено вниз вдоль плоскости, тело же тормозит:

$$ma_1=mg\sin \alpha+F_{tr}$$

$$N=mg\cos\alpha$$

$$ma_1=mg\sin \alpha+\mu mg\cos\alpha$$

$$a_1= g\sin \alpha+\mu g\cos\alpha$$

При спуске ускорение направлено… вниз вдоль плоскости, тело же набирает скорость:

$$ma_2=mg\sin \alpha-F_{tr}$$

$$N=mg\cos\alpha$$

$$ma_2=mg\sin \alpha-\mu mg\cos\alpha$$

$$a_2= g\sin \alpha-\mu g\cos\alpha$$

«Время вверх» можно найти как

$$t_1=\sqrt{\frac{2S}{a_1}}$$

«Время вниз»:

$$t_2=\sqrt{\frac{2S}{a_2}}$$

Таким образом, так как

$$t_2=2t_1$$

$$\sqrt{\frac{2S}{a_2}}=2\sqrt{\frac{2S}{a_1}}$$

Или

$$4a_2=a_1$$

Подставим ранее найденные ускорения:

$$ 4g\sin \alpha-4\mu g\cos\alpha= g\sin \alpha+\mu g\cos\alpha$$

$$3\sin \alpha=5\mu \cos \alpha$$

$$\mu=0,6\operatorname{tg}\alpha=0,6\operatorname{tg}15^{\circ}=0,16$$

Ответ: $\mu=0,16$.

Задача 2.

Тело находится на наклонной плоскости. Построить график зависимости силы трения $F_{tr}$ о плоскость от угла $\alpha$ наклона плоскости к горизонту.

Решение. Пока плоскость горизонтальна или мало наклонена, тело покоится, его сила трения равна

$$F_{tr1}=mg\sin\alpha$$

Когда тело пришло в движение, его сила трения уже равна

$$F_{tr2}=\mu mg\cos\alpha$$

Сдвиг произойдет, когда обе силы равны:

$$ mg\sin\alpha=\mu mg\cos\alpha$$

$$\mu=\operatorname{tg}\alpha$$

$$\alpha=\operatorname{arctg}\mu$$

То есть зависимость сначала синусоидальная, причем это первая четверть графика синуса, потом происходит смена синуса на косинус, в этой точке может быть небольшой излом графика. С ростом угла косинус уменьшается, то есть переход от графика синуса произойдет на вторую четверть графика косинуса.

Задача 3.

Сила трения капель дождя о воздух пропорциональна квадрату скорости и квадрату радиуса капли $F = \beta\upsilon^2R^2$. Какие капли, крупные или мелкие, падают на землю с большей скоростью?

Решение. Кинетическая энергия капель – результат работы силы тяжести (положительной) и силы сопротивления воздуха (отрицательной):

$$E_{kin}=A_{mg}-A_{sopr}$$

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=S(mg-\beta\upsilon^2R^2)$$

$$\left(\frac{m}{2}+\beta R^2\right)\upsilon^2=Smg$$

$$\upsilon^2=\frac{ Smg }{\frac{m}{2}+\beta R^2}$$

$$\upsilon^2=\frac{ 2Smg }{m+2\beta R^2}$$

Делим на массу правую часть (и числитель, и знаменатель):

$$\upsilon^2=\frac{ 2Sg }{1+\frac{2\beta R^2}{m}}$$

И представляем массу как произведение объема на плотность:

$$m=\rho V=\frac{4}{3}\pi R^3\rho$$

$$\upsilon^2=\frac{ 2Sg }{1+\frac{2\beta R^2}{\frac{4}{3}\pi R^3\rho }}$$

$$\upsilon^2=\frac{ 2Sg }{1+\frac{3\beta }{2\pi R\rho }}$$

С ростом у капель становится больше радиус. При анализе последнего выражения видно, что с ростом $R$ знаменатель уменьшается, а значит $\upsilon^2$ увеличивается.

Ответ: крупные.