Тело на наклонной плоскости

Задача 1.

На наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 3 м  находится груз массой 50 кг. Какую силу надо приложить, чтобы

а) удерживать тело на наклонной плоскости ($\mu=0,2$);

б) равномерно поднимать его вверх;

в) равномерно опускать его вниз;

г) поднимать его вверх с ускорением 1 м/с$^2$;

д) опускать его вниз с ускорением 1 м/с$^2$.

Решение. Синус угла при основании плоскости равен 0,6. Пусть мы поднимаем тело вверх равномерно (на рисунке сила трения поменяет направление). Тогда

$$ma=0=F-mg\sin\alpha-F_{tr}= F-mg\sin\alpha-\mu mg \cos\alpha$$

$$F= mg\sin\alpha+\mu mg \cos\alpha=500\cdot 0,6+0,2\cdot 500\cdot 0,8=380$$

Пусть мы спускаем тело вниз равномерно. Тогда

$$ma=0= mg\sin\alpha-F_{tr}-F= mg\sin\alpha-\mu mg \cos\alpha-F$$

Спуск, удержание, спуск м ускорением

$$F= mg\sin\alpha-\mu mg \cos\alpha=500\cdot 0,6-0,2\cdot 500\cdot 0,8=220$$

Значит, чтобы тело было неподвижным, придется прикладывать силу

$220<F<380$.

Теперь будем поднимать с ускорением (на рисунке сила трения поменяет направление):

$$ma=F-mg\sin\alpha-F_{tr}= F-mg\sin\alpha-\mu mg \cos\alpha$$

$$F= mg\sin\alpha+\mu mg \cos\alpha+ma=500\cdot 0,6+0,2\cdot 500\cdot 0,8+50=430$$

И, наконец, спускать с ускорением:

$$ma= mg\sin\alpha-F_{tr}-F= mg\sin\alpha-\mu mg \cos\alpha-F$$

$$F= mg\sin\alpha-\mu mg \cos\alpha- ma =500\cdot 0,6-0,2\cdot 500\cdot 0,8-50=170$$

Ответ: а) $220<F<380$ Н; б) 380 Н; в) 220 Н; г) 430 Н; д) 170 Н.

Задача 2.

По наклонной плоскости вверх пускают тело с начальной скоростью 3 м/с. Поднявшись на некоторую высоту, тело соскальзывает по тому же пути вниз. Какова будет скорость тела, когда оно вернется в исходную точку? Коэффициент трения 0,8, угол наклона плоскости к горизонту $45^{\circ}$.

Движение вверх

Решение. Для движения вверх (ускорение направлено вниз вдоль плоскости):

$$ma_1=mg\sin \alpha+F_{tr}$$

$$a_1= g\sin \alpha+\mu g \cos\alpha$$

$$a_1=10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+0,8\cdot10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$$

По формуле «без времени»

$$2a_1S=\upsilon_0^2$$

$$S=\frac{\upsilon_0^2}{2a_1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

Движение вниз

Для движения вниз:

$$ ma_2=mg\sin \alpha-F_{tr}$$

$$a_2= g\sin \alpha-\mu g \cos\alpha$$

$$a_2=10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-0,8\cdot10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

По формуле «без времени»

$$2a_2S=\upsilon_k^2$$

$$\upsilon_k^2= 2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}=1 $$

Ответ: скорость тела будет равна 1 м/с.