Тела вкатывают на наклонные плоскости и пускают сверху вниз

Задача 1.

Тело массой $m = 2$ кг соскальзывает без начальной скорости с доски длиной $l = 1,5$ м, установленной под углом $\alpha = 45^{\circ}$ к горизонту. За какое время $t$ тело соскользнет с доски, если известно, что по той же доске, но установленной под углом $\beta = 30^{\circ}$ к горизонту, то же тело движется вниз равномерно? Принять $g = 10$ м/с$^2$. Определите силу трения $F_{tr}$, действующую на тело при его соскальзывании с доски, установленной под углами $\alpha = 45^{\circ}$ и $\beta = 30^{\circ}$ к горизонту.

Решение. Под углом $30^{\circ}$ тело движется равномерно, следовательно, сила трения равна проекции силы тяжести:

$$ F_{tr1}=mg\sin \beta$$

$$\mu mg\cos \beta=mg\sin \beta$$

Откуда

$$\mu=\operatorname{tg}\beta=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Рассмотрим теперь случай движения под углом $\alpha$. Сначала найдем ускорение:

$$ma= mg\sin \alpha- F_{tr2}$$

$$ma= mg\sin \alpha- \mu mg\cos \alpha$$

$$a= g\sin \alpha- \mu g\cos \alpha=10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2,98$$

Теперь можно и время определить. Для угла $\alpha$ оно будет таким:

$$l=\frac{at^2}{2}$$

$$t=\sqrt{\frac{2l}{a}}=1$$

Сила трения при этом угле равна

$$ F_{tr1}=mg\sin \beta=20\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}=14,1$$

А при угле наклона $\alpha = 45^{\circ}$

$$F_{tr2}=\mu mg\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 2\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{\frac{2}{3}}=8,2$$

Ответ: $t=1$ при спуске под углом $\alpha$, сила трения равна 8,2 Н для этого же угла. Для угла наклона плоскости $30^{\circ}$ сила трения 14,1 Н.

 

Задача 2.

Для равномерного подъема тела массой $m = 100$ кг по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^{\circ}$  к горизонту необходимо приложить силу $F = 600$ Н, параллельную наклонной плоскости.

С каким ускорением $a$ будет двигаться тело, если его отпустить? Принять $g = 10$ м/с$^2$. При каком угле наклона $\beta$ плоскости к горизонту тело будет двигаться вниз равномерно?

Решение. Запишем уравнение по второму закону Ньютона для подъема тела:

$$ F_{tr}+mg\sin \alpha =F$$

$$\mu mg\cos \alpha +mg\sin \alpha =F$$

Откуда

$$\mu=\frac{F- mg\sin \alpha }{ mg\cos \alpha }=\frac{600-1000\cdot 0,5}{1000\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{5\sqrt{3}}$$

Теперь отпускаем тело:

$$ma= mg\sin \alpha- F_{tr}$$

$$ma= mg\sin \alpha- \mu mg\cos \alpha$$

$$a= g\sin \alpha- \mu g\cos \alpha=10\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{5\sqrt{3}}\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4$$

Теперь рассмотрим случай равномерного движения. Тогда

$$ F_{tr1}=mg\sin \beta$$

$$\mu mg\cos \beta=mg\sin \beta$$

Откуда

$$\mu=\operatorname{tg}\beta=\frac{1}{5\sqrt{3}}$$

$$\beta =\operatorname{arctg}\frac{1}{5\sqrt{3}}=6,58^{\circ}$$

Ответ: $a=4$ м/с$^2$, при угле наклона $6,6^{\circ}$ тело двигается равномерно.

 

Задача 3. 

Человек тянет за веревку сани массой $m=20$ кг в гору c углом наклона $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту так, что веревка параллельна поверхности склона. Чтобы поднимать сани с постоянной скоростью, необходима сила $F=126$ Н. Веревка выдерживает максимальное натяжение $T_{max}=140$ Н. С каким максимальным ускорением человек может поднимать сани в гору? С каким ускорением будут соскальзывать сани, если их отпустить?

Решение. Аналогично предыдущей задаче

 $$ F_{tr}+mg\sin \alpha =F$$

$$\mu mg\cos \alpha +mg\sin \alpha =F$$

Откуда

$$\mu=\frac{F- mg\sin \alpha }{ mg\cos \alpha }=\frac{126-200\cdot 0,5}{200\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{26}{100\sqrt{3}}=\frac{13}{50\sqrt{3}}$$

Теперь отпускаем сани:

$$ma= mg\sin \alpha- F_{tr}$$

$$ma= mg\sin \alpha- \mu mg\cos \alpha$$

$$a= g\sin \alpha- \mu g\cos \alpha=10\cdot\frac{1}{2}-\frac{13}{50\sqrt{3}}\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3,7$$

Посмотрим, каково может быть ускорение при подъеме:

$$ma= T_{max}- F_{tr}-mg\sin \alpha$$

$$ ma= T_{max}-\mu mg\cos \alpha -mg\sin \alpha$$

$$ a= \frac{T_{max}}{m}-\mu g\cos \alpha -g\sin \alpha$$

$$ a= \frac{140}{20}-\frac{13}{50\sqrt{3}}\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-10\cdot 0,5=7-1,3-5=0,7$$

Ответ: сани можно тянуть вверх с ускорением 0,7 м/с$^2$, сани поедут вниз с ускорением 3,7 м/с$^2$, если их отпустить.

 

Задача 4.

Небольшому телу, находящемуся у основания наклонной плоскости, сообщили скорость $\upsilon_0$, направленную вдоль плоскости. В результате тело за $t=2$ с поднялось на высоту $h=6,3$ м. Угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha=30^{\circ}$. Определить коэффициент трения тела о плоскость $\mu$. Какое расстояние пройдет тело по инерции на горизонтальном участке при той же начальной скорости $\upsilon_0$ и том же коэффициенте трения?

Решение. Если подъем тела составил 6,3 м – то длина наклонной плоскости равна 12,6 м – именно столько и прошло по ней тело, двигаясь вверх. Можно найти ускорение, поскольку время известно:

$$l=\frac{at^2}{2}$$

$$a=\frac{2l}{t^2}=\frac{25,2}{4}=6,3$$

Найдем также начальную скорость:

$$0=\upsilon_0-at$$

$$\upsilon_0=at=12,6$$

Теперь определим коэффициент трения:

$$ma= mg\sin \alpha+ \mu mg\cos \alpha$$

$$a= g\sin \alpha+ \mu g\cos \alpha$$

$$\mu=\frac{a-g\sin \alpha }{ g\cos \alpha }=\frac{6,3-10\cdot 0,5}{10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1,3}{5\sqrt{3}}=0,15$$

Определим расстояние, которое тело бы прошло по горизонтали:

$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=F_{tr}l_g$$

$$\frac{ \upsilon_0^2}{2}=\mu g l_g$$

$$l_g=\frac{ \upsilon_0^2}{2\mu g}=\frac{12,6^2}{20\cdot 0,15}=52,92$$

Ответ: $\mu=0,15$, тело прошло бы по горизонтальной плоскости расстояние 53 м прежде, чем остановилось бы.