Сила трения: введение

Эта статья открывает целый блок статей, связанных с определением силы трения в разных ситуациях. Для начала нужно четко себе представить, что, пока тело неподвижно, сила трения равна той силе, с которой воздействуют на тело, и только после того, как  тело сдвинется с места, сила трения больше не изменяется. Также помним обязательно тот факт, что произведение коэффициента трения на силу реакции опоры - это сила трения скольжения, и работает эта формула только когда тело уже движется.

Задача 1.

На тело массой $m=1$ кг, лежащее на горизонтальной поверхности, начинает действовать сила $F$. Коэффициент трения между телом и поверхностью $\mu=0,2$. Определить ускорение тела, если модуль силы $F$ равен: а) 0,5 Н; б) 2Н; в) 2,5 Н. Построить график зависимости силы трения $F_{tr}$ от силы $F$. Считать $g=10$ м/с$^2$.

Составим уравнение по второму закону, направив ось $x$ горизонтально вправо. Тогда

$$ma=F-F_{tr}$$

$$ F_{tr}=\mu m g$$

$$ma=F-\mu m g $$

Ускорение тела равно:

$$a=\frac{F}{m}-\mu  g$$

Подставим численные данные, при $F=0,5$ Н получим:

$$a=\frac{0,5}{1}-0,2 \cdot10=-1,5$$

Но ведь так не бывает, чтобы сила действовала в одну сторону, а ускорение тела было бы направлено в другую (об этом вроде бы свидетельствует минус)! То есть такой величины силы нам не хватит, чтобы сдвинуть тело с места. Тогда $ F_{tr}=F$.

При $F=2$ Н получим:

$$a=\frac{2}{1}-0,2 \cdot10=0$$

Тело покоится или движется равномерно, $ F_{tr}=F$.

При $F=2,5$ Н получим:

$$a=\frac{2,5}{1}-0,2 \cdot10=0,5$$

Сила трения равна $F_{tr}=\mu m g=0,2\cdot 1\cdot 10=2$ Н.

 

Построим теперь график зависимости силы трения от силы $F$:

 

Задача 2.

На тело массой $m=1$ кг начинает действовать горизонтальная сила, модуль которой линейно зависит от времени:  $F=Ct$, где $C=0,49$ Н/с. Построить график зависимости модуля силы трения от времени, если коэффициент трения $\mu=0,2$. Определить момент времени, когда тело стронется с места.

Тело стронется с места, когда величина силы станет равной силе трения. Сила трения скольжения равна $F_{tr}=\mu m g=0,2\cdot 1\cdot 9,8=1,96$ Н.

Тогда момент трогания найдем из равенства:

$$F=F_{tr}$$

$$Ct=\mu mg$$

$$t=\frac{\mu mg }{C}=\frac{0,2 \cdot  1\cdot 9,8 }{0,49}=4$$

График будет выглядеть точь-в-точь как в первой задаче.

Задача 3.

Если к телу приложить силу $F=120$ Н под углом $\alpha=60^{\circ}$ к горизонту, то тело будет двигаться равномерно. С каким ускорением будет двигаться тело, если ту же силу приложить под углом $\beta=30^{\circ}$ к горизонту? Масса тела 25 кг.

Сначала разберемся с ситуацией 1: тело движется равномерно, сила направлена под углом $\alpha=60^{\circ}$ к горизонту. Следовательно, горизонтальная проекция силы, с которой на него воздействуют, равна силе трения.

$$F_{tr}=F \cos{\alpha}$$

По вертикальной оси уравнение будет выглядеть так (силу реакции опоры не изобразила):

$$F\sin{\alpha}+N=mg$$

Найдем отсюда силу реакции опоры, которая позволит нам определить силу трения:

$$N=mg- F\sin{\alpha}$$

$$F_{tr}=\mu N=\mu(mg- F\sin{\alpha})$$

Таким образом, мы определили силу трения с двух различных сторон, и, приравняв эти выражения, сможем теперь определить коэффициент трения, который не был нам известен:

$$ F \cos{\alpha}=\mu(mg- F\sin{\alpha})$$

$$\mu=\frac{ F \cos{\alpha}}{ mg- F\sin{\alpha}}$$

Теперь, зная коэффициент трения, рассмотрим ситуацию 2:  на тело воздействует сила под углом $\beta=30^{\circ}$ к горизонту.  Снова запишем все уравнения:

$$ma =F \cos{\beta}- F_{tr1}$$

$$a =\frac{F \cos{\beta}- F_{tr1}}{m}$$

$$F\sin{\beta}+N_1=mg$$

$$N_1=mg- F\sin{\beta}$$

$$F_{tr1}=\mu N_1=\mu(mg- F\sin{\beta})=\frac{ F \cos{\alpha}}{ mg- F\sin{\alpha}}(mg- F\sin{\beta})$$

Тогда ускорение равно:

$$a =\frac{F \cos{\beta}- \frac{ F \cos{\alpha}}{ mg- F\sin{\alpha}}(mg- F\sin{\beta})}{m}$$

Когда задача в общем виде решена, давайте подставим числовые данные:

$$a =\frac{120 \frac{\sqrt{3}}{2}- \frac{ 120 \frac{1}{2}}{ 250- 120\frac{\sqrt{3}}{2}}(250- 120\frac{1}{2})}{25}=\frac{60\sqrt{3}- 60}{ 250- 60\sqrt{3}}(250- 60)}{25}=1$$

Ответ: 1 м/с$^2$.

 

Задача 4.

С какой наименьшей силой нужно толкать перед собой тележку, масса которой $m=12$ кг, для того чтобы сдвинуть ее с места? Сила направлена вдоль ручки тележки и составляет с горизонтом угол $\alpha=30^{\circ}$, а коэффициент трения между полом и тележкой $\mu=0,4$?

Горизонтальная проекция силы, с которой воздействуют на тележку, равна силе трения.

$$F_{tr}=F \cos{\alpha}$$

По вертикальной оси уравнение будет выглядеть так:

$$ N=mg+ F\sin{\alpha}$$

Найдем отсюда силу реакции опоры, которая позволит нам определить силу трения:

$$F_{tr}=\mu N=\mu(mg+F\sin{\alpha})$$

Тогда

$$ F \cos{\alpha}=\mu(mg+F\sin{\alpha})$$

Найдем отсюда $F$:

$$ F \cos{\alpha}=\mu mg+\mu F\sin{\alpha})$$

$$ F (\cos{\alpha}-\mu\sin{\alpha})=\mu mg$$

$$F=\frac{\mu mg }{\cos{\alpha}-\mu\sin{\alpha}}$$

Подставим числа:

$$F=\frac{0,4\cdot12 \cdot10 }{\frac{\sqrt{3}}{2}-0,4\frac{1}{2}}=\frac{48 }{0,866-0,2}=72$$

Ответ: 72 Н