Сила трения: подготовка к олимпиадам, 9 класс

В этой статье уже более сложные, более приближенные к олимпиадным, задачи. Тут и комбинированные задачи, и задачи с движением по окружности.

Задача 1.

Автомобиль начал двигаться с ускорением $a=2$ м/с$^2$. Когда он достиг скорости $\upsilon_1=60$ км/ч, его ускорение стало равным $a_1=1$ м/с$^2$. Определить, с какой установившейся скоростью будет двигаться автомобиль, если сила тяги его двигателя не изменилась, а сила сопротивления движению возрастала прямо пропорционально скорости движения. Ответ выразить в км/ч, округлив до целых.

Решение.

По второму закону Ньютона в начале движения справедливо соотношение $F=ma$. Сила сопротивления выражается по формуле $F_{conp}=-k\upsilon$. Поэтому при достижении скорости $\upsilon_1=60$ км/ч, используя второй закон Ньютона, можно записать, что

$$F-k\upsilon_1=ma_1,$$

а при движении с постоянной скоростью

$$F-k\upsilon_2=0.$$

Решая систему, получим, что

$$\frac{a-a_1}{a}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}$$

Откуда искомая скорость равна

$$\upsilon_2=\upsilon_1\cdot \frac{a}{a-a_1}=120$$

Ответ: 120 км/ч.

Задача 2.

Из двух ровных досок сделан жёлоб, представляющий собой двугранный угол с раствором $2\alpha=90^\circ$. Жёлоб закреплен так, что его ребро горизонтально, а доски симметричны относительно вертикали. В жёлобе на боковой поверхности лежит цилиндр массой $m=1$ кг. Коэффициент трения между досками и цилиндром равен $\mu=0,2$. К торцу цилиндра приложена горизонтально направленная сила $F=3$ Н. Найти модуль ускорения цилиндра. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/$c^{2}$. Ответ выразить в м/c$^2$, округлив до десятых.

К задаче 2

Решение.

Изобразим вид на жёлоб со стороны торца цилиндра. На цилиндр в плоскости рисунка действуют направленная вниз сила тяжести и две равные по модулю силы реакции досок, направленные перпендикулярно стенкам жёлоба.

Так как цилиндр не движется в вертикальном направлении, то, в соответствии со вторым законом Ньютона, сумма проекций этих трёх сил на вертикаль равна нулю. Таким образом, справедливо соотношение

$$mg=2N\cdot \sin \alpha,$$

где $\alpha=45^\circ$. Отсюда получаем, что сила реакции опоры равна

$$N=\frac{mg}{2\sin \alpha}.$$

В горизонтальном направлении (вдоль жёлоба) на цилиндр действуют сила $F$, а также, в противоположном направлении, две силы сухого трения $F_{mp}$. Предположим, что цилиндр будет двигаться по жёлобу. Тогда по закону Кулона-Амонтона сила трения скольжения равна

$$ F_{mp}=\frac{\mu mg}{2\sin \alpha}.$$

По второму закону Ньютона в проекциях на горизонтальную ось, направленную вдоль ребра жёлоба, получим, что

$$ma=F-2F_{mp}=F-\frac{\mu mg}{\sin \alpha},$$

где $a$ — модуль искомого ускорения цилиндра.

Заметим, что

$$F>\frac{\mu mg}{\sin \alpha}$$

Это означает, что приложенная к торцу цилиндра сила превышает силу трения покоя, то есть цилиндр и в самом деле будет скользить вдоль жёлоба. Следовательно, модуль ускорения цилиндра равен

$$a=\frac{F}{m}-\frac{g\cdot \mu}{\sin \alpha}=0,2$$

Ответ: 0,2 м/c$^2$

Задача 3.

Брусок массой $m=2$ кг движется поступательно по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы, направленной под углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту. Модуль этой силы $F=12$ Н. Модуль силы трения, действующей на брусок, равен 2,8 Н. Чему равен коэффициент трения между бруском и плоскостью? Ответ округлить до десятых. Ускорение свободного падения $g=10$ м/c$^{2}$.

Решение.

Воспользуемся вторым законом Ньютона. Спроецируем все силы действующие на брусок на вертикальную ось. Брусок движется по горизонтальной плоскости, следовательно, у него нет вертикальной составляющей ускорения. Из второго закона Ньютона получаем, что $N+F\sin \alpha-mg=0$, где $N$ — сила реакции опоры. По условию, модуль силы трения равен $F_{mp}=\mu N=2,8$ Н. Следовательно, коэффициент трения между бруском и плоскостью

$$\mu=\frac{F_{mp}}{mg-F\sin \alpha}=0,2.$$

Ответ: 0,2.

Задача 4.

Брусок массой $m$ прижат к вертикальной стене силой $F$, направленной под углом $\alpha$ к вертикали. Коэффициент трения между бруском и стеной равен $\mu$. При какой величине силы $F$ брусок будет двигаться по стене вертикально вверх с постоянной скоростью?

К задаче 4

$1.\;\frac{\mu mg}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}$

$2.\;\frac{mg}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}$

$3.\;\frac{\mu mg}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}$

$4.\;\frac{mg}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}$

Решение.

Поскольку необходимо, чтобы брусок скользил с постоянной скоростью, его ускорение должно быть равно нулю. Из второго закона Ньютона для бруска в проекции на вертикальную ось получаем, что

$$F\cos\alpha-mg-F_{mp}=0,$$

а в проекции на горизонтальную ось можем записать, что

$$F\sin\alpha-N=0.$$

Учитывая связь $F_{mp}=\mu N$, справедливую в силу того, что брусок скользит вдоль стены, получаем

$$F=\frac{mg}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}.$$

Ответ: 4.

Задача 5.

Автомобиль, двигаясь по горизонтальной дороге, совершает поворот по дуге окружности. Каков минимальный радиус этой окружности при коэффициенте трения автомобильных шин о дорогу $\mu=0,4$ и скорости автомобиля $\upsilon=10$ м/с? Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/c$^{2}$. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

На повороте с радиусом $R$ при скорости $\upsilon=10$ м/с автомобиль обладает центростремительным ускорением $a=\frac{\upsilon^2}{R}$.Это ускорение должна обеспечивать сила трения между колёсами и дорожным покрытием, иначе начнётся занос. Из второго закона Ньютона в проекциях на радиальную ось, получаем, что

$$ma=F_{mp},$$

где $m$ — масса автомобиля.

Из второго закона Ньютона в проекциях на вертикальную ось получаем, что

$$N-mg=0,$$

где $N$ — сила реакции опоры. При минимально возможном радиусе сила трения между колёсами автомобиля и дорожным покрытием принимает максимальное значение, равное

$$F_{mp}= F_{mp\;max}=\mu\cdot N$$

Таким образом, получаем, что минимально возможный радиус равен

$$R=\frac{\upsilon^2}{\mu g}=25.$$

Ответ: 25 м.