Подводные камни силы трения

Сегодня разберем задачу на силу трения. Она показалась мне очень полезной и совсем не простой.

Задача. Какова сила трения, действующая на брусок массой $m$, с каким ускорением движутся грузы и какова сила натяжения нити, если $h=60$ см, $l=80$ см, $m=0,5$ кг, $\mu =0,25$? Решите задачу при следующих значениях массы $M$: а) 0,1 кг;  б) 0,25 кг; в) 0,3 кг; г) 0,35 кг; д) 0,5 кг.

Два бруска

Начнем разбор со значения массы $M=0,1$ кг. Предположительно, при такой небольшой массе $M$ бруски начнут соскальзывать влево. Сделав такое предположение, распишем уравнения по второму закону Ньютона:

$$ma_1=mg\sin \alpha-F_{tr}-T$$

$$Ma_1= T-Mg$$

$$F_{tr}=\mu N$$

$$N=mg \cos \alpha$$

Таким образом,

$$ma_1=mg\sin \alpha-\mu mg \cos \alpha - Ma_1-Mg$$

Или

$$a_1(M+m)=mg\sin \alpha-\mu mg \cos \alpha -Mg$$

Синус угла наклона плоскости будет равен $\sin \alpha=0,6$, $\cos \alpha=0,8$.

$$a_1=\frac{g(m\sin \alpha-\mu m \cos \alpha -M) }{ M+m}=\frac{10(0,5\cdot0,6-0,25\cdot0,5 \cdot0,8 -0,1) }{ 0,6}=\frac{10}{6}$$

Знак ускорения – положителен, следовательно, мы угадали с его направлением.

Теперь попробуем по формуле выше рассчитать ускорение при $M=0,25$ кг.

$$a=\frac{g(m\sin \alpha-\mu m \cos \alpha -M) }{ M+m}=\frac{10(0,5\cdot0,6-0,25\cdot0,5 \cdot0,8 -0,25) }{ 0,75}<0$$

Следовательно, либо ускорение направлено в другую сторону, либо его совсем нет, и система покоится. Но даже в покое сила трения может быть направлена по-разному.

У нас есть такие силы, которые остаются постоянными при любых массах и ускорениях. Например, $mg\sin\alpha=3$ Н. Сила трения скольжения (если она есть) $F_{tr}=\mu mg \cos \alpha=1$ Н.

Попробуем прикинуть, чему равна сила трения в том случае, если при $M=0,25$ движения нет. Если груз $M$ покоится, то $T=Mg=2,5$ Н. И уравнение для груза $m$ выглядит так:

$$mg\sin\alpha-T+F_{tr}=0$$

Тогда $F_{tr}=T- mg\sin\alpha=2,5-3=-0,5$

То есть сила трения направлена вверх, и это сила трения покоя, так как она меньше силы трения скольжения.

При $M=0,3$  сила $T=Mg=3$ Н, силы трения нет. Она равна нулю.

При $M=0,35$ сила $Mg=3,5$ Н, значит, система может покоиться. Сила трения в этом случае направлена вниз и равна $ F_{tr}=1 $ Н. Она равна силе трения скольжения, значит, может наблюдаться и равномерное движение груза $m$ вверх по плоскости. Ускорение равно нулю.

И наконец, при $M=0,5$ этот груз будет двигаться вниз. Следовательно, сила трения будет направлена вниз вдоль плоскости. Тогда уравнения будут выглядеть так:

$$ma_2=-mg\sin \alpha-F_{tr}+T$$

$$Ma_2= -T+Mg$$

$$F_{tr}=\mu N$$

$$N=mg \cos \alpha$$

Тогда

$$ma_2=-mg\sin \alpha-\mu mg \cos \alpha - Ma_2+Mg$$

Или

$$a_2(M+m)= Mg- mg\sin \alpha-\mu mg \cos \alpha$$

$$a_2=\frac{g(-m\sin \alpha-\mu m \cos \alpha +M) }{ M+m}=\frac{10(0,5-0,5\cdot0,6-0,25\cdot0,5 \cdot0,8 ) }{ 1}=1$$

Ответ: а) ускорение $a_1=1,67$ м/с$^2$, направлено вниз, сила трения $ F_{tr}=1$ Н, направлена вверх, сила натяжения нити $T_1=M(a_1+g)=0,1\cdot 11,7=1,17$ Н. б) ускорение – ноль, сила трения равна 0,5 Н, направлена вверх. Сила натяжения нити $T=2,5$ Н. в) система покоится, сила трения равна нулю,  ускорение равно нулю, сила натяжения нити $T=3$ Н. г) система покоится или движется равномерно, ускорение равно нулю, сила трения покоя равна 1 Н, направлена вниз. Сила натяжения нити $T=3,5$ Н. д) ускорение равно $a_2=1$ м/с$^2$, направлено вверх, сила трения скольжения равна 1 Н, направлена вниз, сила натяжения нити равна $T_2=M(g-a_2)=4,5$ Н.