Грузы и блоки

Задача 1.

Два тела массой $m_1 = 2$ кг и $m_2 = 1$ кг связаны нитью, перекинутой через блок. Тело $m_1$ находится на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 20^{\circ}$; коэффициент трения о плоскость $\mu = 0,1$. Тело $m_2$ висит на нити. Найти ускорение $а_2$ второго тела.

Рисунок к задаче 1

Решение. В задаче не написано, но будем нить считать невесомой и нерастяжимой. Куда поедет система – тоже неясно, но это выяснится при решении уравнений. Пока предполагаем, что вправо. То есть груз $m_2$ опускается, груз $m_1$ - поднимается. Если ускорение в результате получается положительным – угадали. Нет – решаем заново в предположении, что все едет влево. Итак, едем вправо:

Силы на первое тело в задаче 1

$$m_1a=T-F_{tr}-m_1g\sin\alpha$$

$$m_2a=m_2g-T$$

При условиях, принятых нами в отношении нити ускорение у тел одно и то же.

Сила трения равна:

$$F_{tr}=\mu N=\mu m_1g \cos\alpha$$

Складываем:

$$a(m_1+m_2)=m_2g-\mu m_1 g\cos\alpha-m_1g\sin\alpha$$

При подсчете получается ускорение

$$a=0,427$$

Ответ: $a=0,43$ м/с$^2$.

Задача 2.

Найти ускорения $а_1$ и $а_2$ масс $m_1$ и $m_2$ и силу натяжения нити $Т$ в системе, изображенной на рисунке.

Рисунок к задаче 2

Решение. В задаче про соотношение масс – ни слова. Пусть груз $m_1$ опускается вниз. Запишем для обоих уравнения по второму закону Ньютона:

$$m_1a_1=m_1g-T$$

$$m_2a_2=2T-m_2g$$

Добавляем уравнение кинематической связи. При этом я рассуждаю так. Тело 2 поднимается на $x_2$. При этом укорачиваются на $x_2$ оба отрезка веревки, на которых висит блок с телом 2. Значит, тело 1 опускается на $x_1=2x_2$. То есть длина веревки изначальная

$$l=a+2b$$

А после сдвига

$$l=a+x_1+2b-2x_2$$

Взяв две производные, получим связь ускорений:

$$a_1=2a_2$$

Подставим полученное в нашу систему уравнений, при этом умножим первое уравнение дополнительно на 2:

$$2m_1\cdot 2a_2=2m_1g-2T$$

$$m_2a_2=2T-m_2g$$

Теперь при сложении «уйдет» сила натяжения нити:

$$a_2(m_2+4m_1)=2m_1g-m_2g$$

$$a_2=\frac{g(2m_1-m_2)}{4m_1+m_2}$$

$$a_1=2a_2=\frac{2g(2m_1-m_2)}{4m_1+m_2}$$

Получим силу натяжения нити:

$$T=m_1g-m_1a_1$$

$$T= m_1g-\frac{2m_1g(2m_1-m_2)}{4m_1+m_2}$$

$$T=m_1g\left(1-\frac{4m_1-2m_2}{4m_1+m_2}\right)$$

$$T=\frac{3m_1m_2g}{4m_1+m_2}$$

Ответ: $a_1=\frac{2g(2m_1-m_2)}{4m_1+m_2}$, $a_2=\frac{g(2m_1-m_2)}{4m_1+m_2}$, $T=\frac{3m_1m_2g}{4m_1+m_2}$.

Задача 3.

Система из двух грузов массы $m_1$ и $m_2$ находится на опоре, которая движется с ускорением $а$. Найти натяжение $T$нити, если коэффициент трения равен $\mu$.

Рисунок к задаче 3

Для тела, лежащего на плоскости, наличие ускорения $a$ изменит силу реакции опоры:

$$m_1 a_x=T-F_{tr}$$

$$m_1a=N-m_1g$$

$$N=m_1(a+g)$$

Здесь $a_x$ - ускорение данного тела по горизонтальной оси, $ F_{tr}=\mu N$.

Тогда

$$m_1 a_x=T-\mu m_1(a+g)$$

Второе тело. Оно может как спускаться, так и подниматься. Зависит от соотношения $a$ и $a_x$. Если $a>a_x$ по модулю, то тело едет вверх, если меньше, то вниз. Я рассмотрела оба случая. При $a>a_x$:

$$m_2(a-a_x)= T - m_2g $$

Вычитаем уравнения:

$$m_2a-m_2a_x-m_1a_x=-m_2g+\mu m_1(a+g)$$

$$(m_1+m_2)a_x=m_2a+m_2g-\mu m_1(a+g)$$

$$a_x=\frac{m_2(a+g)-\mu m_1(a+g)}{m_1+m_2}$$

$$a_x=\frac{ (a+g)(m_2 -\mu m_1)}{m_1+m_2}$$

Должно выполняться $ m_2 -\mu m_1>0$.

Определяем силу натяжения нити:

$$T= m_1 a_x+\mu m_1(a+g)$$

$$T=m_1(a+g)\left(\frac{m_2-\mu m_1}{m_1+m_2}+\mu\right)$$

$$T=\frac{m_1m_2(a+g)(1+\mu)}{m_1+m_2}$$

При $a<a_x$ второе тело едет вниз. В этом случае

$$m_2(a_x-a)= m_2g -T$$

То есть уравнение для него то же самое и результат, соответственно, тот же: $T=\frac{m_1m_2(a+g)(1+\mu)}{m_1+m_2}$.

Ответ: $T=\frac{m_1m_2(a+g)(1+\mu)}{m_1+m_2}$ при $ m_2 -\mu m_1>0$.