Движение тел друг по другу - задачи с досками и клиньями

Задача 1. 

По гладкой горизонтальной поверхности перпендикулярно вертикальной стенке со скоростью $\upsilon_0$ движется доска длиной $l$ с расположенным на ее конце точечным телом. Происходит абсолютно упругий удар доски о стенку. Считая, что удар происходит практически мгновенно, определить, при каком коэффициенте трения между телом и доской доска остановится на максимальном расстоянии от стенки. Чему равно это максимальное расстояние? Массы доски и тела равны.

Рисунок к задаче 1

Решение. При ударе тело по инерции продолжит двигаться вправо со скоростью $\upsilon_0$. Пока оно двигается, сила трения тормозит и доску, и само тело. Как только оно перестанет двигаться – исчезнет и сила трения скольжения, доска прекратит тормозить. Поэтому, когда тело перестанет двигаться, должна перестать двигаться и доска. При этом движение тела по доске должно происходить максимально долго. Тело может максимально продвинуться на длину доски – это и есть условие самого длительного движения тела по доске. Тело должно остановиться у противоположного ее конца. Если тело проходит расстояние $l$ - то доска должна пройти расстояние $\frac{l}{2}$, так как тело находится на доске (по закону сохранения импульса).

Изображаем, что вообще происходит

Тело остановится через время

$$t=\frac{\upsilon_0}{a}$$

На самом деле это такое время:

$$t=\frac{2\upsilon_0}{2a}$$

Так как, если перейти в систему отсчета доски, то тело и скорость имеет вдвое большую, и ускорение вдвое большее, так как доска-то тоже тормозит. И с тем же ускорением, так как масса у нее такая же.

$$l=2\upsilon_0t-\frac{2at^2}{2}=2\upsilon_0\cdot \frac{\upsilon_0}{a}-\frac{2a}{2}\cdot \frac{\upsilon_0^2}{a^2}=\frac{2\upsilon_0^2}{a}-\frac{\upsilon_0^2}{a}=\frac{\upsilon_0^2}{a}$$

А так как $a=\mu g$, то:

$$\mu=\frac{\upsilon_0^2}{gl}$$

Ответ: $\mu=\frac{\upsilon_0^2}{gl}$, расстояние от доски до стенки $\frac{l}{2}$.

Задача 2.

На горизонтальной поверхности стола находится незакрепленный клин с углом при основании $\alpha$. На наклонную грань этого клина кладут тело и действуют на него такой горизонтальной силой $F$, что ускорение тела оказывается направленным перпендикулярно наклонной грани клина. Найти силу $F$. Трение между телом и клином отсутствует.

Рисунок к задаче 2

Решение. Поскольку тело имеет такое ускорение (раскладываемое на проекции по горизонтальной и вертикальной осям), то и возьмем указанные оси для написания уравнений по второму закону Ньютона:

Выбираем оси и расставляем силы

Тогда

$$ma_x=F-N\sin \alpha$$

$$ma_y=mg-N\cos\alpha$$

Или

$$ma\sin \alpha=F-N\sin \alpha$$

$$ma\cos \alpha=mg-N\cos\alpha$$

При делении получаем

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{ F-N\sin \alpha }{ mg-N\cos\alpha }$$

Перепишем как

$$ F-N\sin \alpha=( mg-N\cos\alpha) \operatorname{tg}\alpha$$

$$ F-N\sin \alpha=mg\operatorname{tg}\alpha -N\sin\alpha$$

$$F= mg\operatorname{tg}\alpha$$

Ответ: $F= mg\operatorname{tg}\alpha$.