Движение при наличии трения

Задача 1.

Небольшое тело запускают вверх вдоль наклонной плоскости, наклонённой под углом $\alpha=30^{\circ}$  к горизонту, со скоростью $\upsilon_0=5$ м/с. Коэффициент трения между телом и плоскостью $\mu=0,5$. Тело не покидает плоскость, ускорение свободного падения считать равным $g=10$ м/с$^2$. Какое время должно пройти, чтобы величина скорости тела снова стала равна начальной? Ответ выразите в секундах, округлив до целого числа. На каком расстоянии от начальной точки будет находиться тело в этот момент времени? Ответ выразите в метрах, округлив до целого числа.

Решение. Понятно, что при движении вверх скорость только убывает, поэтому станет равной начальной не на этом участке пути, а на втором, когда тело начнет скатываться обратно и постепенно наберет опять скорость. Но для ответа на вопрос задачи надо найти и время движения вверх. Обозначим все силы, введем оси координат, как нам удобно.

Сила трения равна

$$F_{tr}=\mu N=\mu mg\cos \alpha$$

Для движения вверх уравнение по второму закону Ньютона выглядит так:

$$-ma_1=-mg\sin\alpha -\mu mg\cos \alpha$$

$$a_1=g\sin\alpha +\mu g\cos \alpha=10\cdot 0,5+0,5\cdot10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5+2,5\sqrt{3}$$

Начальная скорость у тела ненулевая, и по мере продвижения вверх уменьшается, в верхней точке она становится равной нулю:

$$\upsilon=0=\upsilon_0-a_1t_1$$

$$t_1=\frac{\upsilon_0}{a_1}=\frac{5}{5+2,5\sqrt{3}}=0,536$$

Подставляя это время в

$$S_1=\upsilon_0 t_1-\frac{a_1t_1^2}{2}$$

Получаем $S_1=1,34$ м.

Теперь тело поедет вниз. Уравнение по второму закону Ньютона будет выглядеть так:

$$ma_2=mg\sin\alpha -\mu mg\cos \alpha$$

$$a_2=g\sin\alpha -\mu g\cos \alpha=5-2,5\sqrt{3}$$

Так как движение обратимо, можем найти время скатывания так же, как и время $t_1$, представив, что тело с начальной скоростью $\upsilon_0$ движется вверх с ускорением $a_2$:

$$t_2=\frac{\upsilon_0}{a_2}=\frac{5}{5-2,5\sqrt{3}}=7,464$$

$$S_2=\frac{a_2t_2^2}{2}=18,66$$

Чтобы величина скорости снова стала равна начальной, должно пройти время

$$t=t_1+t_2=0,536+7,464=8$$

При этом тело окажется на расстоянии от точки старта, равном

$$\Delta S=S_2-S_1=18,66-1,34=17,32$$

Ответ: $t=8$ с, тело отъедет на 17,32 м.

Задача 2.

Шайбу толкнули по горизонтальной поверхности. Через время $\tau=0,5$ с она оказалась на расстоянии $S_1=1,1$ м от начальной точки, а через  $2\tau$ — на расстоянии $S_2=1,28$ м. Найдите значение коэффициента трения $\mu$ между шайбой и поверхностью, при котором это возможно. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$. Ответ округлите до сотых.

Решение. Запишем два уравнения для пути, пройденного шайбой.

$$S_1=\upsilon_0 \frac{\tau}{2}-\frac{a\left(\frac{\tau}{2}\right)^2}{2}$$

$$S_2=\upsilon_0 \tau-\frac{a\tau^2}{2}$$

Получили систему:

$$1,1=\upsilon_0\cdot 0,5-\frac{a\cdot 0,25}{2}$$

$$1,28=\upsilon_0\cdot 1-\frac{a}{2}$$

Первое перепишем так:

$$2,2=\upsilon_0-0,25a$$

Просто вычтем уравнения, и получим ускорение:

$$2,2-1,28=-0,25a+0,5a$$

$$0,92=0,25a$$

$$a=3,68$$

Так как $a=\mu g$, то

$$\mu=0,368$$

Ответ: $\mu=0,368$