Движение по наклонной плоскости в магнитном поле

Задача 1.

Стержень массой 20 г и длиной 5 см положили горизонтально на гладкую наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол, тангенс которого $0,3$. Вся система находится в вертикальном магнитном поле с индукцией 150 мТл. При какой силе тока в стержне он будет находиться в равновесии?

Решение. На стержень будут действовать силы Ампера, тяжести.

Рисунок к задаче 1

Так как брусок неподвижен, то уравнение по второму закону Ньютона будет выглядеть так:

$$F_A\cos \alpha=mg\sin\alpha$$

$$IBl=mg\operatorname{tg}\alpha$$

$$I=\frac{ mg\operatorname{tg}\alpha }{Bl}=\frac{0,02\cdot 10\cdot 0,3}{0,15\cdot 0,05}=8$$

Ответ: 8 А

Задача 2.

Определите, какую максимальную скорость разовьет положительно заряженное тело, скользящее по наклонной плоскости в магнитном поле с индукцией $B$ и в поле силы тяжести. Масса и заряд тела $m$ и $q$. Вектор индукции магнитного поля параллелен наклонной плоскости и перпендикулярен силе тяжести. Угол наклона плоскости к горизонту $\alpha$. Коэффициент трения тела о плоскость равен $\mu$.

Решение.

Рисунок к задаче 2

Сила Лоренца, действующая на тело, направлена по правилу левой руки перпендикулярно плоскости. Тогда

$$N=mg\cos \alpha+Bq\upsilon$$

$$F_{tr}=\mu N$$

$$ma=mg\sin \alpha-F_{tr}$$

$$ma= mg\sin \alpha-\mu mg\cos \alpha-\mu Bq\upsilon$$

Если скорость максимальна, ускорение равно нулю:

$$ mg\sin \alpha=\mu mg\cos \alpha+\mu Bq\upsilon$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{ mg\sin \alpha-\mu mg\cos \alpha }{\mu Bq }$$

Ответ: $\upsilon=\frac{ mg\sin \alpha-\mu mg\cos \alpha }{\mu Bq }$.

Задача 3.

На наклонной плоскости, составляющей угол $30^{\circ}$ с горизонтом, находится проводящий стержень массой 0,5 кг и длиной 30 см. В пространстве создано однородное магнитное поле. Какова должна быть минимальная величина индукции этого поля, чтобы стержень двигался вверх по наклонной плоскости с ускорением 0,1 м/с$^2$, если по нему пропустить ток силой 50 А? Коэффициент трения стержня о плоскость равен 0,2. Вектор индукции магнитного поля перпендикулярен наклонной плоскости и совпадает с направлением силы нормальной реакции опоры.

Решение. Сила Ампера может быть направлена только вправо, иначе движение вверх было бы невозможно.

Рисунок к задаче 3

$$ma=F_A-mg\sin \alpha-F_{tr}$$

$$N=mg\cos\alpha$$

$$F_{tr}=\mu N$$

$$ma= F_A-mg\sin \alpha-\mu mg\cos\alpha$$

$$ F_A=ma+ mg\sin \alpha+\mu mg\cos\alpha$$

$$BIl= ma+ mg\sin \alpha+\mu mg\cos\alpha$$

$$B=\frac{ ma+ mg\sin \alpha+\mu mg\cos\alpha }{Il}$$

$$B=\frac{ 0,5\cdot 0,1+ 0,5\cdot10\cdot 0,5+0,2\cdot 0,5\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{50\cdot 0,3}=0,23$$

Ответ: 0,23 А

Задача 4.

На проводящих рельсах, проложенных по наклонной плоскости, в однородном вертикальном магнитном поле $B$ находится горизонтальный прямой проводник прямоугольного сечения массой $m=20$ г. Плоскость наклонена к горизонту под углом $\alpha=30^{\circ}$. Расстояние между рельсами $L=40$ см. Когда рельсы подключены к источнику тока, по проводнику протекает постоянный ток $I=11$ А. При этом проводник поступательно движется вверх по рельсам равномерно и прямолинейно. Коэффициент трения между проводником и рельсами $\mu=0,2$. Чему равен модуль индукции магнитного поля $B$?

Решение. Пусть индукция направлена вертикально вниз, а ток течет «на нас». Тогда сила Ампера будет направлена вправо и именно она – виновник возникшего движения.

Рисунок к задаче 4

$$0=F_A\cos \alpha-F_{tr}$$

$$N=mg\cos \alpha+F_A\sin \alpha$$

Сила трения, по определению,

$$ F_{tr}=\mu N= \mu(mg\cos \alpha+F_A\sin \alpha)$$

Имеем:

$$F_A\cos \alpha=\mu(mg\cos \alpha+F_A\sin \alpha)$$

$$F_A(\cos \alpha-\mu \sin \alpha)=\mu mg\cos \alpha$$

$$IBL=\frac{\mu mg\cos \alpha }{\cos \alpha-\mu \sin \alpha }$$

$$B=\frac{\mu mg\cos \alpha }{(\cos \alpha-\mu \sin \alpha)IL }$$

$$B=\frac{0,2\cdot 0,02\cdot 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{(\frac{\sqrt{3}}{2}-0,2 \cdot 0,5)\cdot 11\cdot 0,4}=0,01$$

Ответ: 10 мТл

Задача 5.

Какую максимальную скорость разовьет заряженное тело, скользящее по наклонной плоскости в магнитном поле индукции $B$? Масса тела $m$, заряд $q$. Магнитное поле параллельно наклонной плоскости и перпендикулярно силе тяжести. Угол наклона плоскости к горизонту $\alpha$. Коэффициент трения тела о плоскость $\mu$.

Рисунок к задаче 5

Решение. Можно по-разному направить вектор индукции. Если он направлен «к нам», то сила Лоренца будет перпендикулярна плоскости и сонаправлена с $N$. При увеличении скорости она будет расти, сила трения – уменьшаться и тело будет разгоняться неограниченно. Таким образом, индукцию надо направить «от нас», тогда с ростом скорости сила Лоренца растет и увеличивает силу трения.

$$ma=mg\sin \alpha-F_{tr}$$

$$N=mg\cos\alpha+F_{lor}$$

$$ F_{tr}=\mu N=\mu (mg\cos\alpha+F_{lor})=\mu (mg\cos\alpha+Bq\upsilon)$$

При максимальной скорости ускорение равно нулю:

$$ F_{tr}= mg\sin \alpha$$

$$\mu (mg\cos\alpha+Bq\upsilon)= mg\sin \alpha$$

$$-\mu mg\cos\alpha+mg\sin \alpha= \mu Bq\upsilon$$

$$\upsilon=\frac{mg(\sin \alpha -\mu\cos\alpha) }{\mu Bq }$$

Ответ: $\upsilon=\frac{mg(\sin \alpha -\mu\cos\alpha) }{\mu Bq }$