Две задачи с горками

Задача 1.

Два груза с массами $M=0,3$ кг и $m$ связаны лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через лёгкий блок (см. рисунок), и помещены на наклонные шероховатые поверхности клина. Нить скользит по блоку без трения. Угол при вершине клина прямой, а угол наклона к горизонту плоскости, на которой находится груз массы $M$, равен $\alpha=60^{\circ}$ Коэффициенты трения между грузами и поверхностями одинаковы и равны $\mu=\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx 0,289$.  Найдите минимальное и максимальное значение массы $m$, при котором грузы могут находиться в состоянии покоя.

Решение. Если масса $m$ мала, то все захочет поехать вправо:

$$0=Mg\sin \alpha-\mu Mg\cos \alpha-T$$

$$0=T-mg\sin \alpha-\mu mg \cos \beta$$

Складываем:

$$0=Mg\sin \alpha-\mu Mg\cos \alpha-mg\sin\alpha-\mu mg\cos \beta$$

Откуда

$$m=\frac{M(\sin \alpha-\mu\cos\alpha)}{\sin \beta+\mu\cos \beta}=\frac{0,3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{2}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$$m=\frac{0,3\cdot\frac{5}{4\sqrt{3}}}{0,75}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=0,289$$

Если масса $m$ велика, то все захочет поехать влево, и уравнения по второму закону Ньютона будут такими:

$$0=T-Mg\sin \alpha-\mu Mg\cos \alpha$$

$$0=mg \sin \beta-T-\mu mg \cos \beta$$

Складываем:

$$-Mg\sin \alpha-\mu Mg\cos \alpha+mg \sin \beta-\mu mg \cos \beta$$

$$m=\frac{M(\sin \alpha+\mu\cos \alpha)}{\sin \beta-\mu\cos \beta}=\frac{0,3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{2}\right)}{\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$$m=\frac{0,3\cdot\frac{7}{4\sqrt{3}}}{0,25}=\frac{2,1}{\sqrt{3}}=1,21$$

Ответ: минимальная масса 0,289 кг, максимальная – 1,21 кг.

Задача 2.

Оба ровных склона горки с прямым углом при вершине обработаны одинаково. Более пологий склон наклонён к горизонту под углом $\alpha=\operatorname{arctg}(\frac{3}{4})\approx 36,9^{\circ}$. Если положить на склоны горки грузы с массами $m_1=m$ и $m_2=3m$ так, как показано на рисунке слева, чтобы их центры находились на одной горизонтали, и аккуратно отпустить, то оба груза придут в движение и при этом их центры в течение некоторого интервала времени по-прежнему будут оставаться на одной горизонтали. Если соединить грузы лёгкой нерастяжимой нитью и поместить на более пологий склон горки так, как показано на рисунке справа, слегка потянув вниз нижний груз, то грузы в течение некоторого времени будут плавно скользить вниз с практически постоянной скоростью. Определите коэффициенты трения обоих грузов о склоны горки.

Решение. Для одного из брусков (левого)

$$ma_1=mg\sin \alpha - F_{tr1}$$

$$N=mg\cos \alpha$$

$$F_{tr1}=\mu_1mg\cos \alpha$$

Подставим:

$$ma_1=mg\sin \alpha -\mu_1mg\cos \alpha$$

$$a_1=g\sin \alpha -\mu_1g\cos \alpha$$

Для второго тогда

$$a_2=g\sin\beta-\mu_2g\cos\beta$$

Из данного нам тангенса

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

$$\sin\beta=\frac{4}{5}$$

$$\cos\beta=\frac{3}{5}$$

Следовательно, поскольку грузы находятся на одной горизонтали, то за одно и то же время один проходит участок длиной $3x$(правый), а другой  - участок длиной $4x$(левый).

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{a_1t^2}{2}}{\frac{a_2t^2}{2}}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{3}$$

$$\frac{\sin\alpha-\mu_1\cos\alpha}{\sin\beta-\mu_2\cos\beta}=\frac{4}{3}$$

Подставим синусы-косинусы:

$$\frac{\frac{3}{5}-\mu_1\frac{4}{5}}{\frac{4}{5}-\mu_2\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$$

Или

$$\frac{3-4\mu_1}{4-3\mu_2}=\frac{4}{3}$$

Откуда

$$\frac{7}{12}+\mu_1=\mu_2$$

Запишем уравнение для второго случая укладки брусков:

$$0= mg\sin \alpha-T-F_{tr3}$$

$$0= 3mg\sin \alpha+T- F_{tr4}$$

$$0= mg\sin \alpha-T-\mu_1mg\cos\alpha$$

$$0= 3mg\sin \alpha+T- 3\mu_1mg\cos\alpha$$

Cложим два последних уравнения:

$$ mg\sin \alpha-\mu_1mg\cos\alpha +3mg\sin \alpha-3\mu_1mg\cos\alpha=0$$

$$ \sin \alpha-\mu_1\cos\alpha +3\sin \alpha-3\mu_1\cos\alpha=0$$

Подставим синусы-косинусы:

$$\frac{3}{5}-\mu_1\frac{4}{5}+3\cdot\frac{3}{5}-3\mu_1\cdot\frac{4}{5}=0$$

Упростим:

$$4\cdot \frac{3}{5}=4\mu_1\cdot\frac{4}{5}$$

Откуда
$$\mu_1=\frac{3}{4}$$

$$\mu_2=\frac{4}{3}$$

Ответ: $\mu_1=\frac{3}{4}$, $\mu_2=\frac{4}{3}$.