Два тела сползают по наклонной плоскости

В задаче рассмотрено движение двух тел по наклонной плоскости. Массы тел разные, коэффициенты трения - тоже. Тела сначала соединяют жестким стержнем, а потом его заменяют на нить. Необходимо найти ускорения тел в обоих случаях.

Задача. С каким ускорением будут двигаться  по наклонной плоскости два тела массами $m_1$ и $m_2$ кг, соединенные друг с другом жестким легким стержнем? Коэффициенты трения между телами и поверхностью плоскости $\mu_1=0,2$ и $\mu_2=0,1$ соответственно. Угол наклона плоскости к горизонту $\alpha=30^{\circ}$. Как изменится ответ, если стержень заменить нитью?

В первом случае тела – почти одно целое. Но вот трутся о плоскость они все равно по-разному. Найдем силу трения обоих тел о плоскость. Для этого введем систему координат так, что ось $x$ направлена вниз вдоль плоскости, а ось $y$ - перпендикулярно поверхности плоскости вверх. Тогда разложим ускорение свободного падения по осям, как это показано на рисунке.

Рисунок

Тогда силы реакции опоры для обоих тел равны:

$$N_1=m_1g \cos{\alpha}$$

$$N_2=m_2g \cos{\alpha}$$

А силы трения, соответственно,

$$F_{tr1}=\mu_1N_1=\mu_1m_1g \cos{\alpha}$$

$$F_{tr2}=\mu_2N_2=\mu_2m_2g \cos{\alpha}$$

Теперь составим уравнение по второму закону по оси $y$:

$$ (m_1+m_2)a= m_1g \sin{\alpha}+ m_2g \sin{\alpha}- F_{tr1}- F_{tr2}$$

$$ (m_1+m_2)a= m_1g \sin{\alpha}+ m_2g \sin{\alpha}- \mu_1m_1g \cos{\alpha}- \mu_2m_2g \cos{\alpha}$$

$$a=\frac{ g \sin{\alpha}(m_1+m_2)- g \cos{\alpha}(\mu_1m_1+\mu_2m_2)}{ m_1+m_2}$$

Если бруски будут связаны нитью, то второй станет двигаться быстрее (его коэффициент трения меньше), и сначала (до того, как он догонит первый) его ускорение будет равно:

$$m_1a_1= m_1g \sin{\alpha}- F_{tr1}$$

$$m_1a_1= m_1g \sin{\alpha}-\mu_1m_1g \cos{\alpha}$$

$$a_1= g \sin{\alpha}-\mu_1g \cos{\alpha}$$

И аналогично для первого тела:

$$a_2= g \sin{\alpha}-\mu_2g \cos{\alpha}$$

Потом больший брусок догонит меньший и после этого их общее ускорение будет равно $a$, которое мы нашли в первой части решения.

Ответ: для случая со стержнем: $a=\frac{ g \sin{\alpha}(m_1+m_2)- g \cos{\alpha}(\mu_1m_1+\mu_2m_2)}{ m_1+m_2}$, для нити до соприкосновения  $a_1= g \sin{\alpha}-\mu_1g \cos{\alpha}$, $a_2= g \sin{\alpha}-\mu_2g \cos{\alpha}$, после соприкосновения $a_3=a$.