Разделы сайта

Категория:

Сила трения ...

Доски пачками

26.06.2023 18:35:26 | Автор: Анна

Задача 1.

Две одинаковые длинные тяжелые однородные доски лежат (одна на другой) на горизонтальной поверхности. Резким ударом нижней доске сообщили начальную скорость 6 м/с, направленную точно вдоль досок. Доски до самой остановки движутся поступательно. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с $^2$ . За какое время проскальзывание досок друг по другу прекратится, если коэффициент трения между досками и коэффициент трения между нижней доской и поверхностью одинаковы и равны $0,5$ ? Ответ выразите в секундах, округлив до десятых. За какое время после сообщения нижней доске начальной скорости движение досок прекратится полностью? Ответ выразите в секундах, округлив до десятых.

рисунок к задаче 1

Рисунок к задаче 1

Решение. Рассмотрим нижнюю доску. Расставим действующие на нее силы: сила тяжести $mg$ , сила реакции со стороны пола $N_2$ , сила реакции со стороны верхней доски $N_1$ , сила трения со стороны верхней доски $F_{tr1}$ , сила трения со стороны пола $F_{tr2}$ . Cилы трения направлены одинаково, потому что верхняя доска по инерции будет двигаться в противоположную нижней доске сторону.

силы на нижнюю доску

Силы на нижнюю доску

Для второй доски уравнение, составленное по второму закону Ньютона, будет таким:

$Доски пачками$

Из него находится ускорение:

$Доски пачками$

Таким образом, доска разгоняется, и, зная ускорение и начальную скорость, запишем уравнение движения:

$Доски пачками$

На верхнюю доску действуют силы: тяжести $mg$ , реакции опоры $N_1$ , сила трения $F_{tr1}$ . При этом:

$Доски пачками$

силы на верхнюю доску

Силы на верхнюю доску

Для этой доски уравнение, составленное по второму закону Ньютона, будет таким:

$Доски пачками$

Из него находится ускорение:

$Доски пачками$

А, зная ускорение и начальную скорость, запишем уравнение движения:

$Доски пачками$

Если скорости досок одинаковы, то они не скользят друг по другу.

$Доски пачками$

Значит, через 0,3 с доски перестанут проскальзывать друг по другу, но еще могут продолжать движение вместе. Чтобы определить общую скорость досок в этот момент $\upsilon_{ob}$ , нужно подставить найденное время в выражение для $\upsilon_{2x}(t)$ :

$Доски пачками$

Для двух досок, продолжающих движение вместе, можно записать:

$Доски пачками$

Время, за которое доски совсем лишатся скорости (после момента, когда их скорости стали равны), можно найти из определения ускорения:

$Доски пачками$

Ответ: проскальзывание досок прекратится за $t_{pr}=0,3$ с, а полностью движение прекратится через время $t_{pr}+ t_{ost}=0,6$ с.

Задача 2.

Две одинаковые длинные тяжёлые однородные доски лежат (одна на другой) на горизонтальной поверхности. Резким ударом верхней доске сообщили начальную скорость 2 м/с, направленную точно вдоль досок. Доски до самой остановки движутся поступательно. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с $^2$ . За какое время проскальзывание досок друг по другу прекратится, если коэффициент трения между досками равен 0,4, а коэффициент трения между нижней доской и поверхностью равен 0,25? Ответ выразите в секундах, округлив до десятых. За какое время после сообщения верхней доске начальной скорости движение досок прекратится полностью? Ответ выразите в секундах, округлив до десятых.

рисунок к задаче 2

Рисунок к задаче 2

Решение. На верхнюю доску действуют силы: тяжести $mg$ , реакции опоры $N_1$ , сила трения $F_{tr1}$ . При этом:

$Доски пачками$

силы на верхнюю доску

Силы на верхнюю доску

Для этой доски уравнение, составленное по второму закону Ньютона, будет таким:

$Доски пачками$

Из него находится ускорение:

$Доски пачками$

А, зная ускорение и начальную скорость, запишем уравнение движения:

$Доски пачками$

Рассмотрим вторую, нижнюю, доску. Она может как покоиться, так и начать двигаться вслед за первой. Расставим действующие на нее силы: сила тяжести $mg$ , сила реакции со стороны пола $N_2$ , сила реакции со стороны верхней доски $N_1$ , сила трения со стороны верхней доски $F_{tr1}$ , сила трения со стороны пола $F_{tr2}$ . Про силу трения $F_{tr2}$ пока неясно – она сила трения скольжения или сила трения покоя?

силы на нижнюю доску

Силы на нижнюю доску

Предположим, что $F_{tr2}$ - сила трения покоя. Если это так, то

$Доски пачками$

То есть должно выполняться следующее:

$Доски пачками$

А это так по «дано», ведь $\mu=0,4$ , $\mu_1=0,25$ .

Значит, нижняя доска покоится.

Скорость верхней доски станет равной нулю через

$Доски пачками$

Ответ: нижняя доска покоится, так что проскальзывание досок друг по другу прекратится тогда же, когда и полностью движение. Движение прекратится через время $t_{pr}=0,5$ с.

Задача 3.

Три длинные доски с массами $m$ , $2m$ и $3m$ покоились (одна на другой, сложенные «стопкой», — см. рисунок) на гладкой горизонтальной поверхности. По «средней» доске нанесли резкий удар, сообщив ей скорость 3 м/с, направленную точно вдоль досок. Коэффициент трения между верхней доской и средней равен 0,3, а коэффициент трения между средней доской и нижней равен 0,2.Через какое время после удара проскальзывание досок друг по другу полностью прекратится? Ответ выразите в секундах, округлив до десятых.

рисунок к задаче 3

Рисунок к задаче 3

Решение. Запишем уравнение по второму закону Ньютона для средней доски, по которой произвели удар (массой $2m$ ). Она трется об верхнюю и нижнюю доски, и силы трения сонаправлены:

$Доски пачками$

Уравнение движения этой доски

$Доски пачками$

Для верхней доски уравнение по второму закону Ньютона:

$Доски пачками$

А уравнение движения:

$Доски пачками$

Теперь рассматриваем третью доску, массой $3m$ . Для нее уравнение по второму закону Ньютона выглядит так:

$Доски пачками$

А уравнение движения:

$Доски пачками$

Взаимное проскальзывание первой и второй досок прекратится, если будет выполняться условие:

$Доски пачками$

В этот момент времени найдем скорости досок:

$Доски пачками$

А скорость третьей доски в этот же момент времени

$Доски пачками$

С этого момента уравнения движения для досок первой и второй такое:

$Доски пачками$

(Так как масса двух досок $3m$ , и на них действует сила трения $F_{tr2}=3m\cdot\mu_2 g$ , то есть ускорение равно $\mu_2 g=2$ ).

А для третьей (ускорение такое же, так как $6ma_{3x}=\mu_2\cdot 6m g$ )

$Доски пачками$

Взаимное проскальзывание первой и второй досок по третьей прекратится, если будет выполняться условие:

$Доски пачками$

Ответ: сначала взаимное движение двух верхних досок прекратится – это произойдет через 0,4 с, а затем, через 0,5 с – все три доски будут двигаться как единое целое (скорость досок при этом сохраняется равной $\upsilon_{3}=0,8+2\cdot 0,1=1$ м/с).

Задача 4.

Две одинаковые длинные тяжёлые однородные доски лежат (одна на другой) на горизонтальной поверхности. Резким ударом верхней доске сообщили начальную скорость 7 м/с, направленную точно вдоль досок. За какое время проскальзывание досок друг по другу прекратится, если коэффициент трения между досками равен 0,6, а коэффициент трения между нижней доской и поверхностью равен 0,25? За какое время с момента начала движения движение досок прекратится полностью? Доски до самой остановки движутся поступательно. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с $^2$ .

рисунок к задаче 4

Рисунок к задаче 4

Решение. На верхнюю доску действуют силы: тяжести $mg$ , реакции опоры $N_1$ , сила трения $F_{tr1}$ . При этом:

$Доски пачками$

силы на верхнюю доску

Силы на верхнюю доску

Для этой доски уравнение, составленное по второму закону Ньютона, будет таким:

$Доски пачками$

Из него находится ускорение:

$Доски пачками$

А, зная ускорение и начальную скорость, запишем уравнение движения:

$Доски пачками$

силы на нижнюю доску

Силы на нижнюю доску

Предположим, что $F_{tr2}$ - сила трения покоя. Если это так, то

$Доски пачками$

То есть должно выполняться следующее:

$Доски пачками$

А это не так по «дано», ведь $\mu=0,6$ , $\mu_1=0,25$ .

Значит, вторая доска тоже скользит. Для второй доски уравнение, составленное по второму закону Ньютона, будет таким:

$Доски пачками$

Из него находится ускорение:

$Доски пачками$

Таким образом, доска разгоняется, и, зная ускорение и начальную скорость, запишем уравнение движения:

$Доски пачками$

Если скорости досок одинаковы, то они не скользят друг по другу.

$Доски пачками$

Значит, через 1 с доски перестанут проскальзывать друг по другу, но еще могут продолжать движение вместе. Чтобы определить общую скорость досок в этот момент $\upsilon_{ob}$ , нужно подставить найденное время в выражение для $\upsilon_{2x}(t)$ :

$Доски пачками$