Доски пачками

Задача 1.

Две одинаковые длинные тяжелые однородные доски лежат (одна на другой) на горизонтальной поверхности. Резким ударом нижней доске сообщили начальную скорость 6 м/с, направленную точно вдоль досок. Доски до самой остановки движутся поступательно. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с$^2$. За какое время проскальзывание досок друг по другу прекратится, если коэффициент трения между досками и коэффициент трения между нижней доской и поверхностью одинаковы и равны $0,5$? Ответ выразите в секундах, округлив до десятых. За какое время после сообщения нижней доске начальной скорости движение досок прекратится полностью? Ответ выразите в секундах, округлив до десятых.

Рисунок к задаче 1

Решение. Рассмотрим нижнюю доску. Расставим действующие на нее силы: сила тяжести $mg$, сила реакции со стороны пола $N_2$, сила реакции со стороны верхней доски $N_1$, сила трения со стороны верхней доски $F_{tr1}$, сила трения со стороны пола $F_{tr2}$. Cилы трения направлены одинаково, потому что верхняя доска по инерции будет двигаться в противоположную нижней доске сторону.

Силы на нижнюю доску

Для второй доски уравнение, составленное по второму закону Ньютона, будет таким:

$$ma_{2x}=-F_{tr2}-F_{tr1}$$

$$ma_{2x}=-2\mu m g-\mu m g$$

Из него находится ускорение:

$$a_{2x}=-3\mu g$$

Таким образом, доска разгоняется, и, зная ускорение и начальную скорость, запишем уравнение движения:

$$\upsilon_{2x}(t)= \upsilon_0 – 3\mu g t=6-15t$$

На верхнюю доску действуют силы: тяжести $mg$, реакции опоры $N_1$, сила трения $F_{tr1}$. При этом:

$$N_1=mg$$

$$ F_{tr1}=-\mu N_1=-\mu mg$$

Силы на верхнюю доску

Для этой доски уравнение, составленное по второму закону Ньютона, будет таким:

$$ma_{1x}=-\mu m g$$

Из него находится ускорение:

$$a_{1x}=-\mu g$$

А, зная ускорение и начальную скорость, запишем уравнение движения:

$$\upsilon_{1x}(t)=-\mu g t=-5t$$

Если скорости досок одинаковы, то они не скользят друг по другу.

$$\upsilon_{1x}(t)=\upsilon_{2x}(t)$$

$$\upsilon_0-3\mu g t_{pr}=-\mu g t_{pr}$$

$$\upsilon_0=4\mu g t_{pr}$$

$$t_{pr}=\frac{\upsilon_0}{4\mu g }=\frac{6}{4\cdot 0,5\cdot 10}=0,3$$

Значит, через 0,3 с доски перестанут проскальзывать друг по другу, но еще могут продолжать движение вместе. Чтобы определить общую скорость досок в этот момент $\upsilon_{ob}$, нужно подставить найденное время в выражение для $\upsilon_{2x}(t)$:

$$\upsilon_{ob}=\upsilon_{2x}(0,3)= \upsilon_0 - 3 \mu g t=6-15\cdot 0,3=1,5$$

Для двух досок, продолжающих движение вместе, можно записать:

$$2m a_x=-2m\mu g$$

$$a_x=-\mu g$$

Время, за которое доски совсем лишатся скорости (после момента, когда их скорости стали равны), можно найти из определения ускорения:

$$t_{ost}=\frac{\upsilon_{ob}}{\mu g}=\frac{1,5}{0,5\cdot10}=0,3$$

Ответ: проскальзывание досок прекратится за $ t_{pr}=0,3$ с, а полностью движение прекратится через время $ t_{pr}+ t_{ost}=0,6$ с.

 

Задача 2.

Две одинаковые длинные тяжёлые однородные доски лежат (одна на другой) на горизонтальной поверхности. Резким ударом верхней доске сообщили начальную скорость 2 м/с, направленную точно вдоль досок. Доски до самой остановки движутся поступательно. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с$^2$. За какое время проскальзывание досок друг по другу прекратится, если коэффициент трения между досками равен 0,4, а коэффициент трения между нижней доской и поверхностью равен 0,25? Ответ выразите в секундах, округлив до десятых. За какое время после сообщения верхней доске начальной скорости движение досок прекратится полностью? Ответ выразите в секундах, округлив до десятых.

Рисунок к задаче 2

Решение. На верхнюю доску действуют силы: тяжести $mg$, реакции опоры $N_1$, сила трения $F_{tr1}$. При этом:

$$N_1=mg$$

$$ F_{tr1}=\mu N_1=\mu mg$$

Силы на верхнюю доску

Для этой доски уравнение, составленное по второму закону Ньютона, будет таким:

$$ma_{1x}=-\mu m g$$

Из него находится ускорение:

$$a_{1x}=-\mu g$$

А, зная ускорение и начальную скорость, запишем уравнение движения:

$$\upsilon_{1x}(t)=\upsilon_0-\mu g t=2-4t$$

Рассмотрим вторую, нижнюю, доску. Она может как покоиться, так и начать двигаться вслед за первой. Расставим действующие на нее силы: сила тяжести $mg$, сила реакции со стороны пола $N_2$, сила реакции со стороны верхней доски $N_1$, сила трения со стороны верхней доски $F_{tr1}$, сила трения со стороны пола $F_{tr2}$. Про силу трения $F_{tr2}$ пока неясно – она сила трения скольжения или сила трения покоя?

Силы на нижнюю доску

Предположим, что $F_{tr2}$ - сила трения покоя. Если это так, то

$$ F_{tr2}= F_{tr1}=\mu m g \leqslant \mu_1 N_2=\mu_1\cdot 2mg$$

То есть должно выполняться следующее:

$$\mu\leqslant 2\mu_1$$

А это так по «дано», ведь $\mu=0,4$, $\mu_1=0,25$.

Значит, нижняя доска покоится.

Скорость верхней доски станет равной нулю через

$$2-4t=0$$

$$t=0,5$$

Ответ: нижняя доска покоится, так что проскальзывание досок друг по другу прекратится тогда же, когда и полностью движение.  Движение прекратится через время $ t_{pr}=0,5$ с.

 

Задача 3.

Три длинные доски с массами $m$, $2m$ и $3m$ покоились (одна на другой, сложенные «стопкой», — см. рисунок) на гладкой горизонтальной поверхности. По «средней» доске нанесли резкий удар, сообщив ей скорость 3 м/с, направленную точно вдоль досок. Коэффициент трения между верхней доской и средней равен 0,3, а коэффициент трения между средней доской и нижней равен 0,2.Через какое время после удара проскальзывание досок друг по другу полностью прекратится? Ответ выразите в секундах, округлив до десятых.

Рисунок к задаче 3

Решение. Запишем уравнение по второму закону Ньютона для средней доски, по которой произвели удар (массой $2m$). Она трется об верхнюю и нижнюю доски, и силы трения сонаправлены:

$$2m\cdot a_{2x}=-F_{tr1}-F_{tr2}=-\mu_1mg-3m\cdot\mu_2 g$$

$$2\cdot a_{2x}=-\mu_1g-3\cdot\mu_2 g$$

$$a_{2x}=-\frac{\mu_1g}{2}-\frac{3\cdot\mu_2 g}{2}=-1,5-3=-4,5$$

Уравнение движения этой доски

$$\upsilon_{2x}(t)=\upsilon_0- a_{2x} t=3-4,5t$$

Для верхней доски уравнение по второму закону Ньютона:

$$ma_{1x}=F_{tr1}=\mu_1 mg$$

$$a_{1x}= \mu_1 g$$

А уравнение движения:

$$\upsilon_{1x}=a_{1x}t=3t$$

Теперь рассматриваем третью доску, массой $3m$. Для нее уравнение по второму закону Ньютона выглядит так:

$$3m a_{3x}= F_{tr2}=3m\cdot \mu_2 g$$

$$a_{3x}= \mu_2 g$$

А уравнение движения:

$$\upsilon_{3x}=a_{3x}t=2t$$

Взаимное проскальзывание первой и второй досок прекратится, если будет выполняться условие:

$$3-4,5t=3t$$

$$3=7,5t$$

$$t=\frac{3}{7,5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0,4$$

В этот момент времени найдем скорости досок:

$$\upsilon_{1x}(0,4)=3t=1,2$$

А скорость третьей доски в этот же момент времени

$$\upsilon_{3x}(0,4)=2t=2\cdot0,4=0,8$$

С этого момента уравнения движения для досок первой и второй такое:

$$\upsilon_{12}=1,2-2t_{ost}$$

(Так как масса двух досок $3m$, и на них действует сила трения $F_{tr2}=3m\cdot\mu_2 g$, то есть ускорение равно $\mu_2 g=2$).

А для третьей (ускорение такое же, так как $6ma_{3x}=\mu_2\cdot 6m g$)

$$\upsilon_{3}=0,8+2t_{ost}$$

Взаимное проскальзывание первой и второй досок по третьей прекратится, если будет выполняться условие:

$$1,2-2t_{ost}=0,8+2t_{ost}$$

$$ t_{ost}=0,1$$

Ответ: сначала взаимное движение двух верхних досок прекратится – это произойдет через 0,4 с, а затем, через 0,5 с – все три доски будут двигаться как единое целое (скорость досок при этом сохраняется равной $\upsilon_{3}=0,8+2\cdot 0,1=1$ м/с).

 

Задача 4.

Две одинаковые длинные тяжёлые однородные доски лежат (одна на другой) на горизонтальной поверхности. Резким ударом верхней доске сообщили начальную скорость 7 м/с, направленную точно вдоль досок. За какое время проскальзывание досок друг по другу прекратится, если коэффициент трения между досками равен 0,6, а коэффициент трения между нижней доской и поверхностью равен 0,25? За какое время с момента начала движения движение досок прекратится полностью? Доски до самой остановки движутся поступательно. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с$^2$.

Рисунок к задаче 4

Решение. На верхнюю доску действуют силы: тяжести $mg$, реакции опоры $N_1$, сила трения $F_{tr1}$. При этом:

$$N_1=mg$$

$$ F_{tr1}=\mu N_1=\mu mg$$

Силы на верхнюю доску

Для этой доски уравнение, составленное по второму закону Ньютона, будет таким:

$$ma_{1x}=-\mu m g$$

Из него находится ускорение:

$$a_{1x}=-\mu g$$

А, зная ускорение и начальную скорость, запишем уравнение движения:

$$\upsilon_{1x}(t)=\upsilon_0-\mu g t=7-6t$$

Рассмотрим вторую, нижнюю, доску. Она может как покоиться, так и начать двигаться вслед за первой. Расставим действующие на нее силы: сила тяжести $mg$, сила реакции со стороны пола $N_2$, сила реакции со стороны верхней доски $N_1$, сила трения со стороны верхней доски $F_{tr1}$, сила трения со стороны пола $F_{tr2}$. Про силу трения $F_{tr2}$ пока неясно – она сила трения скольжения или сила трения покоя?

Силы на нижнюю доску

Предположим, что $F_{tr2}$ - сила трения покоя. Если это так, то

$$ F_{tr2}= F_{tr1}=\mu m g \leqslant \mu_1 N_2=\mu_1\cdot 2mg$$

То есть должно выполняться следующее:

$$\mu \leqslant 2\mu_1$$

А это не так по «дано», ведь $\mu=0,6$, $\mu_1=0,25$.

Значит, вторая доска тоже скользит. Для второй доски уравнение, составленное по второму закону Ньютона, будет таким:

$$ma_{2x}=-F_{tr2}+F_{tr1}$$

$$ma_{2x}=-F_{tr2}+F_{tr1}$$

Из него находится ускорение:

$$a_{2x}=(\mu-2\mu_1)g>0$$

Таким образом, доска разгоняется, и, зная ускорение и начальную скорость, запишем уравнение движения:

$$\upsilon_{2x}(t)= (\mu-2\mu_1)g t=3,5t$$

Если скорости досок одинаковы, то они не скользят друг по другу.

$$\upsilon_{1x}(t)=\upsilon_{2x}(t)$$

$$\upsilon_0-\mu g t_{pr}=(\mu-2\mu_1)g t_{pr}$$

$$\upsilon_0=2(\mu-\mu_1)g t_{pr}$$

$$t_{pr}=\frac{\upsilon_0}{2(\mu-\mu_1)g }=\frac{7}{2(0,6-0,25)\cdot 10}=1$$

Значит, через 1 с доски перестанут проскальзывать друг по другу, но еще могут продолжать движение вместе. Чтобы определить общую скорость досок в этот момент $\upsilon_{ob}$, нужно подставить найденное время в выражение для $\upsilon_{2x}(t)$:

$$\upsilon_{ob}=\upsilon_{2x}(1)= (\mu-2\mu_1)g t_{pr}=(0,6-0,5)\cdot 10\cdot 1=1$$

Или так:

$$\upsilon_{ob}=\frac{(\mu-2\mu_1)\upsilon_0}{2(\mu-\mu_1)}$$

Для двух досок, продолжающих движение вместе, можно записать:

$$2m a_x=-2m\mu_1 g$$

$$a_x=-2\mu_1 g$$

Время, за которое доски совсем лишатся скорости (после момента, когда их скорости стали равны), можно найти из определения ускорения:

$$t_{ost}=\frac{\upsilon_{ob}}{\mu_1 g}=\frac{1}{0,25\cdot10}=0,4$$

Ответ: проскальзывание досок прекратится за $ t_{pr}=1$ с, а полностью движение прекратится через время $ t_{pr}+ t_{ost}=1,4$ с.