Бусинка на спице

Задача.

На диэлектрическую  спицу, закрепленную под углом $\alpha=45^{\circ}$к горизонту, надета бусинка массой $m=14,1$ мг, несущая положительный заряд $q=2\cdot 10^{-8}$ Кл. Коэффициент трения между спицей и бусинкой $\mu=0,1$. В точке $A$ на спице закреплен точечный заряд $q$. При каких расстояниях $x$ от точки $A$ бусинка будет находиться в равновесии?

Решение. Сила Кулона отталкивает заряды, то есть она направлена вверх вдоль спицы. Также вниз вдоль спицы действует сила тяжести (ее проекция). Если бусинка «хочет двигаться вверх вдоль спицы» (сила Кулона больше проекции силы тяжести), сила Кулона $F$ уравновесит силу трения и силу тяжести:

$$F=mg\sin \alpha+F_{tr}$$

$$F=mg\sin \alpha+\mu N$$

$$N=mg\cos \alpha$$

$$F=mg\sin \alpha+\mu mg\cos \alpha $$

$$\frac{kq^2}{r^2}=mg\sin \alpha+\mu mg\cos \alpha $$

$$r^2=\frac{kq^2}{ mg\sin \alpha+\mu mg\cos \alpha }=\frac{9\cdot 10^9\cdot 4\cdot 10^{-16}}{14,1\cdot10^{-6}\cdot 10\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+0,1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}=0,0328$$

$$r=0,181$$

Но ведь сила трения может быть и иначе направлена! Если сила тяжести большая по сравнению с силой Кулона, возможно, «бусинка хочет соскользнуть вниз вдоль спицы», и сила трения тогда направлена вверх, как и сила Кулона:

$$F+F_{tr}=mg\sin \alpha$$

$$ F+\mu N=mg\sin \alpha$$

$$F+\mu mg\cos \alpha= mg\sin \alpha$$

$$\frac{kq^2}{R^2}+\mu mg\cos \alpha= mg\sin \alpha$$

$$\frac{kq^2}{R^2} = mg\sin \alpha-\mu mg\cos \alpha $$

$$R^2=\frac{ kq^2}{ mg\sin \alpha-\mu mg\cos \alpha }=\frac{9\cdot 10^9\cdot 4\cdot 10^{-16}}{14,1\cdot10^{-6}\cdot 10\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-0,1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}=0,04$$

$$R=0,2$$

Ответ: при расстояниях $0,181\leqslant x \leqslant 0,2$ бусинка будет находиться в равновесии.