Сила трения: продолжение

Эта статья продолжает  блок статей, связанных с определением силы трения в разных ситуациях. Для начала нужно четко себе представить, что, пока тело неподвижно, сила трения равна той силе, с которой воздействуют на тело, и только после того, как  тело сдвинется с места, сила трения больше не изменяется. Также помним обязательно тот факт, что произведение коэффициента трения на силу реакции опоры - это сила трения скольжения, и работает эта формула только когда тело уже движется.

Задача 1.

Бусинка массой $m=10$ г соскальзывает по вертикальной нити. Определить ускорение бусинки и силу натяжения нити, если сила трения между бусинкой и нитью $F_{tr}=0,05$ Н. Какова должна быть сила трения, чтобы бусинка не соскальзывала с нити?

К задаче 1

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось, которую направим вверх:

$$-ma=F_{tr}-mg$$

$$a=\frac{mg- F_{tr}}{m}=\frac{0,1-0,05}{0,01}=5$$

Чтобы бусинка не соскальзывала, нужно, чтобы $a=0$

$$ F_{tr1}=mg=0,1$$

Натяжение нити равно силе, с которой бусинка воздействует на нить – а это сила трения:

$$T= F_{tr}=m(g-a)=0,01(10-5)=0,05$$

Ответ: $a=5$ м/с$^2$, $T=0,05$ Н, $ F_{tr1}=0,1$ Н.

Задача 2.

Брусок массой $m=2$ кг зажат между двумя вертикальными плоскостями с силой $F=10$ Н. Найти ускорение бруска и силу трения между бруском и плоскостью при его проскальзывании. Какую минимальную вертикальную силу $F_{min}$ нужно приложить к бруску, чтобы его: а) удержать от проскальзывания; б) поднимать вверх? Коэффициент трения $\mu=0,5$.

К задаче 2

Сначала брусок просто зажат, но не настолько сильно, чтобы сохранять неподвижность. Поэтому он будет проскальзывать: съезжать вниз. Найдем его ускорение (ось направляем вверх):

$$-ma=-mg+2 F_{tr}$$

$$a=g-\frac{2 F_{tr}}{m}$$

Силу трения учитываем дважды, так как брусок одинаково трется как о левую, так и правую стенку. Сила реакции опоры – сила, с которой брусок зажат:

$$F_{tr}=\mu N=\mu F=0,5\cdot 10=5$$

$$a=g-\frac{2\mu F}{m}$$

$$a=10-\frac{2 \cdot 0,5 \cdot 10}{2}=10-5=5$$

Чтобы удержать брусок от проскальзывания необходимо, чтобы его ускорение было бы равно нулю $a=0$. Тогда сила трения помогает нам удерживать брусок, и направлена вверх.

$$F_{min}=mg-2 F_{tr}$$

$$F_{min}=mg -2\mu F $$

$$F_{min}=20 -2\cdot 0,5 \cdot 10=10$$

Теперь потянем брусок вверх. Так как брусок движется вверх, то силу трения надо направить вниз:

$$F_1=mg+2\mu F=20+10=30$$

Ответ: $a=5$ м/с$^2$, $F_{min}=10$ Н, $F_1=30$ Н.

Задача 3.

Через неподвижное, горизонтально расположенное на некоторой высоте бревно переброшена веревка. Чтобы удержать груз массой $m=6$ кг, подвешенный на одном конце веревки, необходимо тянуть второй конец веревки с минимальной силой $T_1=40$ Н. Определить минимальную силу $T_2$, с которой необходимо тянуть веревку, чтобы груз начал подниматься.

К задаче 3

Рассмотрим сначала ситуацию, когда груз просто удерживают на веревке, переброшенной через бревно, в подвешенном состоянии.  В этом случае веревка будет тереться о дерево, в результате возникающая сила трения помогает нам удерживать груз, то есть

$$T_1+ F_{tr}=mg$$

$$ F_{tr}=mg-T_1$$

Теперь будем тянуть веревку, поднимая груз. В этом случае сила трения действует против нас: ведь нам приходится ее преодолевать.

$$T_2= F_{tr}+mg=2mg-T_1=120-40=80$$

Ответ: $T_2=80$ Н.

Задача 4.

Магнит $A$ массой $m=5$ кг  притягивается к стенке с силой $F_1=5$ Н. Если к магниту приложить еще силу $F_2=20$ Н, составляющую угол $\alpha=30^{\circ}$ со стенкой, то куда и с каким ускорением будет двигаться магнит? Коэффициент трения между стенкой и магнитом $\mu=0,2$. При каких значениях $\mu$ магнит не будет двигаться?

Так как сила направлена вверх, предположим, что и магнит движется вверх с ускорением $a$. Направим ось $y$ вверх и запишем уравнение по второму закону Ньютона:

К задаче 4

$$ma=F_2 \cos{\alpha}-mg-F_{tr}$$

Сила, с которой магнит давит на стенку, равна

$$N=F_1+F_2 \sin {\alpha}$$

А сила трения тогда равна

$$ F_{tr}= \mu N=\mu (F_1+F_2 \sin {\alpha})$$

Тогда ускорение магнита равно:

$$a=\frac{F_2 \cos{\alpha}-mg-F_{tr}}{m}=\frac{ F_2 \cos{\alpha}-F_{tr}}{m}-g$$

$$a=\frac{ F_2 \cos{\alpha}-\mu (F_1+F_2 \sin {\alpha})}{m}-g$$

$$a=\frac{ 20 \frac{\sqrt{3}}{2}-0,2 (5+20 \frac{1}{2})}{5}-10=-7,14$$

Мы получили отрицательное ускорение, следовательно, предположение о движении магнита вверх неверно. Нужно заново составить уравнение с учетом этого факта. Тогда:

$$-ma=F_2 \cos{\alpha}-mg+F_{tr}$$

Тогда ускорение магнита будет равно:

$$a=\frac{F_2 \cos{\alpha}-mg+F_{tr}}{-m}=g-\frac{ F_2 \cos{\alpha}+F_{tr}}{m}$$

$$a=g-\frac{ F_2 \cos{\alpha}+\mu (F_1+F_2 \sin {\alpha})}{m}$$

$$a=10-\frac{ 20 \frac{\sqrt{3}}{2}+0,2 (5+20 \frac{1}{2})}{5}=5,94$$

Если ускорение равно нулю, то магнит неподвижен (может быть неподвижным). При этом условии коэффициент трения равен:

$$g-\frac{ F_2 \cos{\alpha}+\mu (F_1+F_2 \sin {\alpha})}{m}=0$$

$$ F_2 \cos{\alpha}+\mu (F_1+F_2 \sin {\alpha})=mg$$

$$ \mu (F_1+F_2 \sin {\alpha})=mg- F_2 \cos{\alpha} $$

$$\mu=\frac{ mg- F_2 \cos{\alpha}}{ F_1+F_2 \sin {\alpha}}=\frac{ 50- 20 \frac{\sqrt{3}}{2}}{ 5+20 \frac{1}{2}}=\frac{50-17,3}{15}=2,18$$

Ответ: ускорение магнита $a=5,94$ м/с$^2$, направлено вниз, коэффициент трения, обеспечивающий неподвижность  $\mu=2,18$.