Задачник Добродеева, работа и мощность - 4

Задача 6.15.

Уклон участка шоссе $\alpha = 0,05$. Спускаясь под уклон при выключенном двигателе, автомобиль движется равномерно со скоростью $\upsilon = 60$ км/ч. Какую минимальную полезную мощность $Р$ должен развивать двигатель при движении в обратном направлении с той же скоростью? Масса автомобиля $m = 1,5$ т.

Решение. Скорость автомобиля $\frac{100}{6}$ м/с. Под уклон автомобиль спускается под действием силы $mg\sin \alpha$, поэтому

$$ mg\sin \alpha=F_{tr}$$

так как спуск равномерный. Когда будем подниматься, нам необходимо преодолеть $ mg\sin \alpha$, так как едем вверх, и $ F_{tr}$, которая тоже $ mg\sin \alpha$, так что

$$ma=2 mg\sin \alpha$$

$$a= 2g\sin \alpha$$

$$P=ma\upsilon= 2mg\sin \alpha \upsilon=2\cdot 1500\cdot 10\cdot 0,05\cdot \frac{100}{6}=25000$$

Здесь использовано равенство угла и его синуса при малых углах.

Ответ: 25 кВт.

Задача 6.16.

На брусок массой $m = 1$ кг, покоившийся на горизонтальной плоскости, действовали в течение времени $t = 10$ с постоянной силой $F = 5$ Н, направленной вверх под углом $\alpha = 30^{\circ}$ к горизонту. Найти работу $А$ этой силы, если коэффициент трения между бруском и плоскостью $\mu = 0,25$.

Решение. Разложим силу $F$ на две проекции. Вертикальная будет равна $F\sin\alpha=2,5$. Благодаря ей сила реакции будет меньше $mg$:

$$N=mg- F\sin\alpha=10-2,5=7,5$$

Сила трения тогда

$$F_{tr}=\mu N=0,25\cdot 7,5=1,875$$

Горизонтальная составляющая силы $F$ (разгоняющая брусок) равна $F\cos\alpha=5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2,5\sqrt{3}$.

Второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную ось

$$ma= F\cos\alpha- F_{tr}=2,5\sqrt{3}-1,875=2,455$$

$$a=2,455$$

Скорость, приобретенная телом за 10 с, равна $\upsilon=at=24,55$ м/с. Тело прошло расстояние

$$S=\frac{\upsilon^2}{2a}=\frac{24,55^2}{4,9}=122,8$$

Таким образом, работа силы $F$

$$A=F\cos \alpha\cdot S=2,5\sqrt{3}\cdot 122,8=531$$

Ответ: 531 Дж.

Задача 6.17.

Какую работу $А$ совершит сила $F = 30$ Н при подъеме по наклонной плоскости груза массой $m = 2$ кг на высоту $h = 2,5$ м с ускорением $а = 10$ м/с$^2$? Сила действует параллельно наклонной плоскости, трением о плоскость пренебречь.

Решение. Нам неизвестен угол наклона плоскости. Найдем его.

$$ma=F-mg\sin\alpha$$

$$ mg\sin\alpha=F-ma=30-20=10$$

Откуда

$$\sin \alpha=\frac{ F-ma }{mg}=\frac{10}{20}=0,5$$

Итак, угол наклона плоскости $30^{\circ}$. Так что, если тело поднялось на 2.5 м, то прошло по плоскости она 5 м. И работа силы будет вычисляться элементарно:

$$A=Fl=F\frac{h}{\sin\alpha}=30\cdot\frac{2,5}{0,5}=150$$

Ответ: 150 Дж.

Задача 6.18.

Некоторая сила толкает тело массой $m = 16$ кг вверх по наклонной плоскости длиной $l = 3,1$ м и углом наклона $\alpha = 30^{\circ}$ к горизонту. Скорость тела у основания плоскости была $\upsilon_0 = 0,6$ м/с, а у ее верхнего края - $\upsilon_1 = 3,1$ м/с. Чему равна работа $А$, произведенная силой, если коэффициент трения $\mu = 0,1$?

Решение. По формуле «без времени»

$$2aS=\upsilon_k^2-\upsilon_0^2=3,1^2-0,6^2$$

Запишем уравнение по второму закону Ньютона в проекциях на плоскость:

$$ma=F-F_{tr}-mg\sin\alpha$$

$$F=ma+F_{tr}+ mg\sin\alpha$$

Работа тогда

$$A=FS=(ma+ F_{tr} + mg\sin\alpha)\cdot S=maS+F_{tr}S+ mg\sin\alpha\cdot S $$

Сила реакции опоры

$$N=mg\cos \alpha$$

$$F_{tr}=\mu N=\mu mg\cos \alpha=8\sqrt{3}$$

$$A=\frac{m}{2}\cdot 2aS+F_{tr}S+ mg\sin\alpha\cdot S =8(3,1^2-0,6^2)+8\sqrt{3}\cdot 3,1+80\cdot3,1=365$$

Ответ: 365 Дж.