Задачник Добродеева, работа и мощность - 3

Задача 6.11.

Автомобиль, имеющий массу $m = 1$ т, трогается с места и, двигаясь равноускоренно, проходит путь $s = 20$ м за время $\tau = 2$ с. Какую полезную механическую мощность $Р$ развивает этот автомобиль в конце пути?

Решение. Так как автомобиль трогается из состояния покоя, то

$$S=\frac{a\tau^2}{2}$$

$$a=\frac{2S}{\tau^2}=\frac{40}{4}=10$$

$$\upsilon=a\tau=10\cdot 2=20$$

Мощность найдем как

$$P=F\upsilon=ma\upsilon=1000\cdot 10\cdot 20=2\cdot 10^5$$

Ответ: 200 кВт

Задача 6.12.

Автомобиль массы $М = 2$ т трогается с места и идет в гору, уклон которой $\alpha = 0,02$. Пройдя расстояние $s = 100$ м, он развивает скорость $\upsilon = 32,4$ км/ч. Коэффициент сопротивления $k = 0,05$. Определить среднюю мощность $<Р>$, развиваемую автомобилем ($k = \frac{F_{sopr}}{Mg}$).

Решение. Определимся со скоростью. 32,4 км/ч – это 9 м/с. Найдем силу сопротивления:

$$ F_{sopr}=kmg=0,05\cdot 2000\cdot 10=1000$$

Автомобиль приобрел потенциальную энергию, поднявшись на 2 м (это мы нашли из уклона, уклон – тангенс угла наклона дороги), кроме того, приобрел скорость 9 м/с – а значит, и кинетическую энергию тоже.

$$E_{pot}+E_{kin}=mgh+\frac{m\upsilon^2}{2}=20000\cdot 2+\frac{2000\cdot 81}{2}=40000+81000=121000$$

Кроме того, против силы сопротивления была совершена работа

$$A=F_{sopr}S=1000\cdot 100=100000$$

Так как средняя скорость 4,5 м/с, то время в пути $t=\frac{S}{\upsilon_{sr}}=\frac{100}{4,5}=22,22$. Найдем среднюю мощность как

$$P=\frac{ E_{pot}+E_{kin}+A}{t}=\frac{221000}{22,22}=9946$$

Ответ: 10 кВт

Задача 6.13.

Самолет для взлета должен иметь $\upsilon= 25$ м/с. Длина пробега перед взлетом $s = 100$ м. Какова мощность $Р$ моторов в момент взлета, если масса самолета $m = 1$ т и коэффициент сопротивления $k = 0,02$? Считать движение самолета при разгоне равноускоренным.

Решение. Найдем силу сопротивления:

$$ F_{sopr}=kmg=0,02\cdot 1000\cdot 10=200$$

Определимся с ускорением:

$$2aS=\upsilon^2$$

$$a=\frac{\upsilon^2}{2S}=\frac{625}{200}=3,125$$

Сила тяги, развиваемая моторами, может быть найдена из второго закона Ньютона:

$$ma=F-F_{sopr}$$

$$F=ma+F_{sopr}=3125+200=3325$$

Мощность определим как

$$P=F\upsilon=3325\cdot 25=83125$$

Ответ: $P=83$ кВт.

Задача 6.14.

Разогнавшись, конькобежец некоторое время движется по горизонтальной ледяной дорожке равномерно. Затем, перестав отталкиваться, он, двигаясь равнозамедленно, проезжает до остановки путь $s = 60$ м в течение $t = 25$ с. Масса конькобежца $m = 50$ кг. Определить коэффициент трения $\mu$ и механическую мощность $Р$, развиваемую конькобежцем при равномерном движении.

Решение. По пройденному конькобежцем пути определим начальную скорость:

$$2aS=\upsilon_0^2$$

$$a=\frac{\upsilon_0^2}{2S}=\frac{\upsilon_0^2}{120}$$

Запишем перемещение:

$$S=\upsilon_0 t-\frac{at^2}{2}$$

$$60=25\upsilon_0-\frac{625a}{2}$$

Или

$$12=5\upsilon_0-\frac{125a}{2}=5\upsilon_0-\frac{125}{2}\cdot \frac{\upsilon_0^2}{120}$$

Имеем квадратное уравнение

$$\frac{25}{48}\upsilon_0^2-5\upsilon_0+12=0$$

Откуда $\upsilon_0=4,8$. Тогда

$$a=\frac{4,8^2}{120}=0,192$$

Но

$$ma=\mu m g$$

Или

$$\mu=\frac{a}{g}=\frac{0,192}{10}=0,02$$

Посчитаем мощность конькобежца при равномерном движении:

$$P=F_{tr}\upsilon_0=\mu m g\upsilon_0=0,02\cdot 50\cdot 10\cdot 4,8=48$$

Ответ: $\mu=0,02$, $P=48$ Вт.