Задачник Добродеева, работа и мощность - 2

Задача 6.5.

Для растяжения пружины из недеформированного состояния на $\Delta х_1 = 4$ мм необходимо совершить работу $А_1 = 0,02$ Дж. Какую работу $А_2$ надо совершить, чтобы из предыдущего положения растянуть эту пружину еще на $\Delta х_2 = 4$ мм?

Решение. Определяем работу по растяжению пружины на 4 мм:

$$A_1=\frac{k\Delta х_1^2 }{2}$$
Отсюда

$$k=\frac{2A_1}{\Delta х_1^2}$$

Определяем работу по растяжению пружины на 8 мм:

$$A_2=\frac{k\Delta х_2^2 }{2}=\frac{2A_1}{\Delta х_1^2}\cdot \frac{\Delta х_2^2 }{2}=0,02\cdot \frac{0,008^2}{0,004^2}=0,08$$

Нам необходимо найти $A_2-A_1$:

$$A_2-A_1=0,06$$

Ответ: 0,06 Дж

 

Задача 6.6.

Тело массой $m$ бросили под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $\upsilon_0$. Найти среднюю мощность $<Р>$, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность $Р$ этой силы как функцию времени.

Решение. Средняя мощность силы тяжести будет равна нулю, так как работа ее в итоге оказалась нулевой. А среднюю мощность найдем как

$$

=-F\upsilon=-mg(\upsilon_0\sin \alpha-gt)$$

Ответ: $

=mg(gt-\upsilon_0\sin \alpha)$

Задача 6.7.

Камень массы $m = 200$ г брошен с горизонтальной поверхности под углом $\alpha$ к горизонту и упал на нее обратно на расстоянии $s = 5$ м через $t = 1,2$ с. Найти работу $А$, совершаемую при броске. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Работа, совершаемая при броске – это сообщенная камню кинетическая энергия. То есть необходимо найти скорость, с которой камень брошен. По горизонтали он двигается равномерно, поэтому

$$L=\upsilon_0\cos \alpha t$$

Или

$$\upsilon_0\cos \alpha=\frac{L}{t}=\frac{50}{12}=\frac{25}{6}$$

За время $\frac{t}{2}$ тело достигает наивысшей точки подъема.

$$\upsilon_0\sin \alpha-\frac{gt}{2}=0$$

$$\upsilon_0\sin \alpha=\frac{gt}{2}=6$$

Определяем начальную скорость:

$$\upsilon_0^2=(\upsilon_0\cos \alpha)^2+(\upsilon_0\sin \alpha)^2$$

$$\upsilon_0^2=\frac{625}{36}+36=53,3$$

А искомая работа

$$A=\frac{m\upsilon_0^2}{2}=5,33$$

Ответ: $A=5,33$ Дж.

Задача 6.8.

Снаряд при вертикальном выстреле достиг высшей точки полета $Н = 3000$ м и разорвался на две части, имеющие массы $m_1 = 3$ кг и $m_2 = 2$ кг. Осколки продолжают лететь по вертикали: первый - вниз, второй - вверх. Найти скорости осколков $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ через время $\tau = 2$ с после разрыва, если их полная механическая энергия непосредственно после разрыва $Е = 0,25$ МДж. Потенциальная энергия отсчитывается от поверхности Земли.

Решение. Так как снаряд в наивысшей точке полета, то скорость его равна в ней нулю. Поэтому

$$E-E_{pot}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}$$

Используем закон сохранения импульса:

$$m_1\upsilon_1= m_2\upsilon_2$$

Тогда

$$E-E_{pot}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2}{2}\cdot \left(\frac{m_1\upsilon_1}{m_2}\right)^2$$

$$3\upsilon_1^2+2\cdot 2,25\upsilon_1^2=(250000-150000)\cdot2=200000$$

$$7,5\upsilon_1^2=200000$$

$$\upsilon_1=163$$

А

$$\upsilon _2=245$$

Но это еще не ответ. Первый осколок летит вниз, и через время $\tau$ его скорость увеличится на $g\tau=20$, и станет равна 183 м/c. Скорость второго уменьшится, так как он летит вверх, на ту же величину $g\tau=20$, и станет равна 225 м/с.

Ответ: $\upsilon_1(\tau)=183$ м/с, $\upsilon_2(\tau)=225$ м/с.

Задача 6.9.

Тело массы $m = 1$ кг брошено с начальной скоростью $\upsilon_0 = 19,6$ м/с под углом $\alpha = 45^{\circ}$ к горизонту. Изобразить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной механической энергий движения этого тела от времени.

Решение. Изображать не стану, но скорость по вертикали будет меняться так:

$$\upsilon=\upsilon_0\sin\alpha-gt$$

А значит, потенциальная энергия будет иметь такую зависимость от времени:

$$E_{pot}=mgh=mg\cdot \left(\upsilon_0\sin\alpha t-\frac{gt^2}{2}\right)$$

Кинетическую найдем, если найдем полную скорость в зависимости от времени:

$$\upsilon^2=\upsilon_0^2\cos^2\alpha+(\upsilon_0\sin\alpha-gt)^2$$

$$\upsilon^2=\upsilon_0^2-2\upsilon_0\sin\alpha gt+g^2t^2$$

$$E_{kin}=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m}{2}(\upsilon_0^2-2\upsilon_0\sin\alpha gt+g^2t^2)$$

Полная тогда равна

$$E= E_{pot}+ E_{kin}= mg\cdot \left(\upsilon_0\sin\alpha t-\frac{gt^2}{2}\right)+ \frac{m}{2}(\upsilon_0^2-2\upsilon_0\sin\alpha gt+g^2t^2)$$

$$E= E_{pot}+ E_{kin}= \frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

 

Задача 6.10.

В поле тяжести на тело массой $m$ в течение времени $\tau$ действуют силой $F$, направленной вертикально вверх. Изобразить график зависимости потенциальной энергии тела от времени.

Решение.

$$ma=F-mg$$

$$a=\frac{F}{m}-g$$

Импульс тела

$$\Delta p=F\tau=m\upsilon$$

$$\upsilon=\frac{F\tau}{m}$$

Высоту подъема найдем из «формулы без времени»:

$$2aH=\upsilon^2$$

$$H=\frac{\upsilon^2}{2a}=\frac{F^2\tau^2}{2m^2(\frac{F}{m}-g )}= \frac{F^2\tau^2}{2m(F-mg )}$$

А потенциальная энергия тогда такова:

$$E_{pot}=mgH=\frac{F^2\tau^2g}{2(F-mg )}$$

Ответ: $E_{pot}=\frac{F^2\tau^2g}{2(F-mg )}$