Задачник Добродеева, работа и мощность - 1

Задача 6.1.

Цепь лежит на плоскости. Найти работу $А$ по подъему цепи, взятой за один конец, на высоту $Н = 5$ м. Длина цепи $l = 2$ м, масса $m = 50$ г. Высота отсчитывается от верхнего конца цепи.

Решение. Будем считать, что вся масса сосредоточена посередине цепи. Тогда мы эту массу поднимаем на высоту 4 м, так как верхний край находится на высоте 5 м, а длина цепи 2 м. Работа будет

$$A=mgh=0,05\cdot 10\cdot 4=2$$

Ответ: 2 Дж.

Задача 6.2.

Цепь массы $М$ и длины $l$ лежит у прямой границы двух горизонтальных полуплоскостей перпендикулярно этой границе. Коэффициенты трения полуплоскостей с цепью соответственно равны $\mu_1$ и $\mu_2$. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы передвинуть цепь на вторую полуплоскость, прилагая горизонтально направленную силу?

Решение. Центр тяжести цепи проедет по первой полуплоскости расстояние $\frac{l}{2}$, и по второй то же самое расстояние. Значит, будет совершена работа $\mu_1 mg \frac{l}{2}$ в первом случае и $\mu_2 mg \frac{l}{2}$ - во втором.

Ответ: $A=\frac{\mu_1+\mu_2}{2}\cdot mgl$.

Задача 6.3.

Тело массой $m = 2$ кг брошено под углом к горизонту с высоты $Н = 5$ м с начальной скоростью $\upsilon_0 = 10$ м/с. Найти работу $А$ сил сопротивления воздуха, если в момент падения на землю тело имеет скорость $\upsilon = 5$ м/с.

Решение. Пусть тело летит сначала вверх (1 этап), потом вниз до высоты, с которой его бросили (2 этап), и потом вниз уже до земли (3 этап). На первом и втором этапах работа силы тяжести противоположна по знаку. Поэтому модуль работы силы сопротивления найдем как изменение потенциальной энергии тела плюс изменение кинетической:

$$A=mgh+\frac{m\upsilon_0^2}{2}- \frac{m\upsilon^2}{2}=100+100-25=175$$

Ответ: $A=-175$ Дж.

Задача 6.4.

Шарик массой $m = 100$ г, подвешенный на нити длиной $l = 40$ см, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какова кинетическая энергия $K$ шарика, если во время его движения нить образует с вертикалью угол $\alpha = 60^{\circ}$?

Решение.

Рисунок к задаче 4

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для обеих осей.

$$\frac{m\upsilon^2}{R}=T\sin \alpha$$

$$mg=T\cos \alpha$$

Разделим уравнения:

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\upsilon^2}{Rg}$$

Здесь $R=l\sin \alpha$, $l$ - длина нити. Тогда

$$\upsilon^2=\operatorname{tg}\alpha l\sin \alpha g=\sqrt{3}\cdot 0,4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 10=6$$

А кинетическая энергия тогда

$$K=\frac{m\upsilon^2}{2}=6\cdot 0,05=0,3$$

Ответ: 0,3 Дж