Подготовка в СУНЦ МГУ: динамика

Задачи, связанные с разными темами динамики, которые были предложены на вступительном экзамене в СУНЦ МГУ в 2013, 2014, 2015 годах.

Задача 1.

Человек массой $M=80$ кг переходит с кормы на нос лодки, длина которой составляет $L=5$ м. Какова масса лодки, если она за время этого перехода переместилась на $\Delta L=2$ м. Какой станет скорость лодки, когда человек перейдет на ее нос и остановится? Сопротивлением воды пренебречь.

Запишем закон сохранения импульса:

$$m\upsilon=(m+M)V$$

Где $\upsilon$ - скорость человека, $m$ - масса человека,  $V$ - скорость лодки, $M$- масса лодки.

Домножим на время:

$$m\upsilon t=(m+M)Vt$$

$$m L=(m+M) \Delta L $$

Откуда:

$$ M \Delta L=m(L- \Delta L)$$

$$M=\frac{ m(L- \Delta L)}{ \Delta L }=\frac{240}{2}=120$$

Ответ: масса лодки 120 кг, скорость лодки станет равной нулю.

Задача 2.

Грузовик массой $m=5,2$ т движется по мосту со скоростью $\upsilon=36$ км/ч. Радиус кривизны моста $R=500$ м. Найдите, с какой силой грузовик давит на середину моста, если а) мост выпуклый; б) мост вогнутый.

а) Запишем уравнение по второму закону Ньютона для выпуклого моста:

$$ma_n=mg-N_1$$

$$N_1=mg-ma_n=mg-\frac{m\upsilon^2}{R}=52000-\frac{5200\cdot10^2}{500}=50960$$

б) Запишем уравнение по второму закону Ньютона для вогнутого моста:

$$ma_n= N_2- mg $$

$$N_2=mg+ma_n=mg+\frac{m\upsilon^2}{R}=52000+\frac{5200\cdot10^2}{500}=53040$$

Ответ: сила давления для выпуклого моста 50960 Н, для вогнутого 53040 Н.

Задача 3.

Снаряд, вылетевший из орудия под некоторым углом к горизонту, разрывается на две равные части в верхней точке траектории на высоте $H=125$ м. Один из осколков возвращается к орудию по прежней траектории. Определите, на каком расстоянии от орудия упадет второй осколок, если в момент разрыва снаряд имел скорость $\upsilon=250$ м/с? Сопротивление воздуха не учитывать.

Так как у снаряда перед разрывом скорость направлена горизонтально, а осколок вернулся в точку старта, следовательно, его скорость по модулю такая же, как у снаряда в верхней точке, но направлена в противоположную сторону. Тогда

$$M\upsilon=-\frac{M}{2}\upsilon+\frac{M}{2}\upsilon_x$$

$$1,5M\upsilon=0,5M\upsilon_x$$

$$\upsilon_x=3\upsilon$$

Так как максимальная точка подъема равна $H=125$ м, то для движения по вертикали до этой точки запишем:

$$\upsilon_0\sin{\alpha}-gt=0$$

$$t=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}$$

$$H=\upsilon_0\sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{g}-\frac{g\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{2g^2}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{2g}=125$$

Тогда

$$\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}=250g=2500$$

$$\upsilon_0\sin{\alpha}=50$$

По горизонтали снаряд пролетит расстояние (до места разрыва)

$$S=\upsilon_0\cos{\alpha} t=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}\cdot\upsilon_0\cos{\alpha}}{g}=\frac{50\cdot250}{10}=1250$$

То есть снаряд разорвался в 1250 м от пушки. Так как скорость второго осколка втрое больше, чем скорость снаряда, то он от места разрыва пролетит втрое большее расстояние – 3750 м, а от пушки второй осколок упадет в 5000 м.

Ответ: 5 км.

Задача 4.

Шарик массой $m$ подвешен на легкой нерастяжимой нити. Нить расположили горизонтально и шарик отпустили. Найдите зависимость силы упругости нити от угла $\alpha$, образованного ею с вертикалью.

Рассмотрим положение шарика в некоторой промежуточной точке между самым низким положением и положением, когда нить горизонтальна.

В начальном положении потенциальная энергия  шарика  равна $mgL$, когда между нитью и вертикалью угол $\alpha$, потенциальная энергия уменьшается на $mgL\cos{\alpha}$. Разность между этими двумя значениями – кинетическая энергия шарика.

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgL(1-\cos{\alpha})$$

Тогда

$$\upsilon^2= 2gL(1-\cos{\alpha})$$

А нормальное ускорение

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{L}=2g(1-\cos{\alpha})$$

Уравнение по второму закону Ньютона будет выглядеть

$$ma_n=T-mg\cos{\alpha}$$

$$T=m(a_n+ g\cos{\alpha})=m(2g-2g\cos{\alpha}+g\cos{\alpha})= mg(2-\cos{\alpha})$$

Ответ: $T=mg(2-\cos{\alpha})$.

 

Задача 5.

  На концах перекинутой через блок нити закреплены два одинаковых груза. Если на один из них положить перегрузок массой $m_1=10$ г, грузы движутся с ускорением $a_1$. Если вместо него использовать перегрузок массы $m_2=40$ г, грузы движутся с ускорением $a_2=3,5a_1$.  Чему равна масса каждого груза $M$? Нить нерастяжима и невесома.

Запишем систему уравнений для обоих грузов с  первым перегрузком:

$$\begin{Bmatrix}{ Ma_1=T_1-Mg}\\{ (m_1+M)a_1=(M+m_1)g-T_1}\end{matrix}$$

Сложим уравнения:

$$Ma_1+(m_1+M)a_1=m_1g$$

Запишем систему уравнений для обоих грузов со  вторым перегрузком:

$$\begin{Bmatrix}{ 3,5Ma_1=T_2-Mg}\\{ 3,5(m_2+M)a_1=(M+m_2)g-T_2}\end{matrix}$$

Сложим уравнения:

$$3,5Ma_1+3,5(m_2+M)a_1=m_2g$$

Мы получили новую систему уравнений:

$$\begin{Bmatrix}{ 2Ma_1+m_1a_1=m_1g }\\{ 7Ma_1+3,5m_2a_1=m_2g }\end{matrix}$$

Уравниваем коэффициенты и вычитаем уравнения:

$$3,5a_1(m_2-m_1)=g(m_2-3,5m_1)$$

$$a_1=\frac{ g(m_2-3,5m_1)}{ 3,5(m_2-m_1)}=\frac{10}{21}$$

Теперь определим $M$:

$$M=\frac{m_1(g-a_1)}{2a_1}=\frac{0,01(10-\frac{10}{21})}{20}=0,1$$

Ответ: $M=0,1$ кг.

Задача 6.

Груз массой $m$, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, вращается по окружности в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси (конический маятник). Длина нити известна и равна $L$. Сила упругости, возникающая в процессе вращения шарика, постоянна и равна $T$. Найдите кинетическую энергию шарика $E_k$.

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m a_n R}{2}=\frac{m a_n L \sin{\alpha}}{2}$$

Силу натяжения нити $T$ разложим на две проекции:

$$T\sin{\alpha}=ma_n$$

$$T\cos{\alpha}=mg$$

Тогда деление этих уравнений друг на друга даст

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a_n}{g}$$

$$a_n=g\operatorname{tg}{\alpha}$$

Подставляем:

$$E_k=\frac{m g L \sin{\alpha}\operatorname{tg}{\alpha}}{2}$$

Ответ: $E_k=\frac{m g L \sin{\alpha}\operatorname{tg}{\alpha}}{2}$.

Задача 7.

Шар массой $M=200$ г вращается на легкой нити в горизонтальной плоскости, описывая окружность радиусом $R=1,5$ м при частоте вращения $n=5$ об/с. Определите силу упругости нити, считая ее нерастяжимой.

Нормальное ускорение равно

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=\omega^2 R=4\pi^2\nu^2R$$

Нормальное ускорение направлено к центру круговой траектории, горизонтально, а сила тяжести, действующая на шар – вертикально вниз. Поэтому сила натяжения нити может быть определена по теореме Пифагора:

$$T=\sqrt{(ma_n)^2+(mg)^2}=m\sqrt{g^2+4\pi^2\nu^2R}$$

Ответ: $T= m\sqrt{g^2+4\pi^2\nu^2R}$.

Задача 8.

Шарик, подвешенный к потолку на нити длиной $L$, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. При этом нить образует с вертикалью угол $\alpha$. Найдите время одного оборота шарика.

Радиус окружности, по которой вращается шарик, можно записать как

$$R=L\sin{\alpha}$$

Тогда нормальное ускорение равно

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=\omega^2 R=4\pi^2\nu^2R=\frac{4\pi^2 R}{T^2}$$

Где $T$ - период, или время одного оборота.

Силу натяжения нити $T’$ разложим на две проекции:

$$T’\sin{\alpha}=ma_n$$

$$T’\cos{\alpha}=mg$$

Тогда деление этих уравнений друг на друга даст

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a_n}{g}$$

Или

$$T^2=\frac{4\pi^2 R}{a_n}=\frac{4\pi^2 R\cos{\alpha}}{g\sin{\alpha}}=\frac{4\pi^2 L\cos{\alpha}}{g}$$

$$T=2\pi\sqrt{\frac{ L\cos{\alpha}}{g}}$$

Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{ L\cos{\alpha}}{g}}$.

Задача 9.

Цилиндрическое тело массой $m=1$ кг надето на гладкий горизонтальный стержень, который вращается вокруг вертикальной оси, делая $n=2$ об/с. Тело прикреплено к оси вращения легкой пружиной. Чему равна жесткость пружины, если при вращении стержня пружина удлиняется в $N=2$ раза?

Сила упругости равна центростремительной силе:

$$F=k\Delta x=ma_n=\frac{m\upsilon^2}{R}$$

Или

$$kl=\frac{m\upsilon^2}{2l}$$

Жесткость равна:

$$k=\frac{ m\upsilon^2}{2l^2}$$

Скорость тела может быть записана:

$$\upsilon=\omega\cdot 2l=2\pi \nu \cdot 2l$$

А квадрат скорости

$$\upsilon^2=4\pi^2 \nu^2 \cdot 4l^2$$

Подставим в полученное выражение для жесткости:

$$k=\frac{ m\cdot 4\pi^2 \nu^2 \cdot 4l^2}{2l^2}=8m \pi^2\nu^2=320$$

Ответ: $k=320$ Н/м.