Кинематические связи. Часть 9

Исследуем движение без проскальзывания. Будем решать задачи, связанные с качением.

Задача 1.

Постройте траектории точек колеса, катящегося без проскальзывания по рельсу. Рассмотрите случаи, когда точки находятся от оси колеса на расстояниях $r>R, r=R, r<R$. Найдите ускорения этих точек, если ось колеса движется с постоянной скоростью $\upsilon$. Найдите радиус кривизны траектории точки, находящейся в высшем и низшем положениях на расстоянии $r \neq R$ от оси колеса.

Сделаем рисунок:

К задаче 1

Из него видно, что скорость верхней точки колеса (колеса, а не реборды!) имеет скорость $2\upsilon$, мгновенный центр вращения находится в точке О. Также видно, что скорость нижней точки реборды $u$ направлена в сторону, противоположную движению.

Точки колеса описывают циклоиды: нижняя точка реборды – удлиненную циклоиду (с петлей), внутренняя точка колеса – укороченную циклоиду, похожую на синусоиду, а точка О – обыкновенную циклоиду. Я сделала модель, где видно, как каждая из точек «рисует» свою циклоиду.

Мгновенный центр вращения – точка $O$. Значит, у самой высокой точки колеса (1) радиус кривизны траектории равен $2R$. Тогда ее нормальное ускорение

$$a_{n1}=\frac{(2\upsilon)^2}{2R}=\frac{2\upsilon^2}{R}$$

У точки (2), расположенной на расстоянии $r$ от оси,  радиус кривизны траектории равен $R+r$. Из подобия треугольников скоростей следует, что

$$\frac{\upsilon_2}{R+r}=\frac{2\upsilon}{2R}$$

$$\upsilon_2=\frac{2\upsilon}{2R}\cdot (R+r)$$

Тогда нормальное ускорение данной точки

$$a_{n2}=\frac{4\upsilon^2}{4R^2}(R+r)^2\cdot\frac{1}{R+r}=\frac{\upsilon^2(R+r)}{R^2}$$

У точки (3) на реборде колеса радиус кривизны траектории равен $2R+x$. Из подобия треугольников скоростей следует, что

$$\frac{\upsilon_3}{2R+x}=\frac{2\upsilon}{2R}$$

$$\upsilon_3=\frac{\upsilon}{R}\cdot (2R+x)$$

Тогда нормальное ускорение данной точки

$$a_{n3}=\frac{\upsilon^2}{R^2}(2R+x)^2\cdot\frac{1}{2R+x}=\frac{\upsilon^2(2R+x)}{R^2}$$

Задача 2.

Угловая скорость катушки равна $\omega$, радиус внутреннего цилиндра $r$, а радиус внешних - $R$. Каковы скорости катушки и груза относительно земли?

К задаче 2

Намотка нити на катушки может быть различной, рассмотрим два случая.

Случай а), когда обе нити разматываются.

Случай а)

Тогда скорость центра катушки $\upsilon_c=\omega R$, а относительная скорость точки $A$

$$\upsilon_{A_{otn}}=\omega r$$

Откуда

$$\upsilon_A=\upsilon_{A_{otn}}+\upsilon_c=\omega(R+r)$$

Случай б), когда нить наматывается на внутреннюю катушку:

Случай б)

$$\upsilon_A=\upsilon_c -\upsilon_{A_{otn}}=\omega(R-r)$$

Задача 3.

  Колесо катится с постоянной скоростью по ленте транспортера , движущейся со скоростью $u=1$ м/с, против направления ее движения без проскальзывания. При этом величина скорости точки А колеса относительно неподвижного наблюдателя равна $\upsilon_A=5$ м/с. Найти скорость центра колеса относительно ленты транспортера.

К задаче 3

Скорость точки A складывается из скорости вращательного движения, относительной скорости (скорости центра колеса относительно транспортера), скорости транспортера.

$$\vec{\upsilon_A}=\vec{\upsilon_{vr}}+\vec{\upsilon_{O_{otn}}}+\vec{u}$$

Полная относительная скорость точки А сложится из

$$\vec{\upsilon_{A_{otn}}}=\vec{\upsilon_{vr}}+\vec{\upsilon_{O_{otn}}}$$

Но

$$\mid\upsilon_{O_{otn}}\mid=\mid \upsilon_{vr}\mid=\upsilon$$

Векторы

$$\upsilon_A^2=\upsilon^2+(\upsilon-u)^2$$

$$\upsilon_A^2=\upsilon^2+\upsilon^2-2\upsilon u+u^2$$

$$\upsilon_A^2=2\upsilon^2-2\upsilon u+u^2$$

Решим как квадратное

$$2\upsilon^2-2\upsilon u+u^2-\upsilon_A^2=0$$

$$\upsilon =\frac{u \pm \sqrt{u^2-2( u^2-\upsilon_A^2)}}{2}$$

$$\upsilon=\frac{u+\sqrt{2\upsilon_A^2-u^2}}{2}=4$$

Ответ: 4 м/с